Calcul de l’écart moyen absolu

Il existe de nombreuses mesures de la propagation ou de la dispersion dans les statistiques. Bien que l’étendue et l’écart-type soient les plus couramment utilisés, il existe d’autres moyens de quantifier la dispersion. Nous allons voir comment calculer l’écart moyen absolu pour un ensemble de données.

Définition

Nous commençons par la définition de l’écart moyen absolu, que l’on appelle également l’écart moyen absolu. La formule présentée avec cet article est la définition formelle de l’écart moyen absolu. Il peut être plus logique de considérer cette formule comme un processus, ou une série d’étapes, que nous pouvons utiliser pour obtenir notre statistique.

1. Nous commençons par une moyenne, ou mesure du centre, d’un ensemble de données, que nous désignerons par m.
2. Ensuite, nous trouvons dans quelle mesure chacune des valeurs des données s’écarte de m. Cela signifie que nous prenons la différence entre chacune des valeurs des données et m.
3. Ensuite, nous prenons la valeur absolue de chacune des différences par rapport à l’étape précédente. En d’autres termes, nous abandonnons tout signe négatif pour chacune des différences. La raison en est qu’il existe des écarts positifs et négatifs par rapport à m. Si nous ne trouvons pas le moyen d’éliminer les signes négatifs, tous les écarts s’annuleront les uns les autres si nous les additionnons.
4. Maintenant, nous additionnons toutes ces valeurs absolues.
5. Enfin, nous divisons cette somme par n, qui est le nombre total de valeurs des données. Le résultat est l’écart moyen absolu.

Variations

Il existe plusieurs variantes pour le processus ci-dessus. Notez que nous n’avons pas précisé ce qu’est exactement m. La raison en est que nous pourrions utiliser une variété de statistiques pour m. En général, c’est le centre de notre ensemble de données, et donc n’importe quelle mesure de la tendance centrale peut être utilisée.

Les mesures statistiques les plus courantes du centre d’un ensemble de données sont la moyenne, la médiane et le mode. Ainsi, n’importe laquelle de ces mesures peut être utilisée comme m dans le calcul de l’écart moyen absolu. C’est pourquoi il est courant de se référer à l’écart absolu moyen par rapport à la moyenne ou à l’écart absolu moyen par rapport à la médiane. Nous en verrons plusieurs exemples.

Exemple : Moyenne Écart absolu par rapport à la moyenne

Supposons que nous commencions avec l’ensemble de données suivant :

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

La moyenne de cet ensemble de données est de 5. Le tableau suivant organise notre travail de calcul de l’écart moyen absolu par rapport à la moyenne.

Valeur des données
Écart par rapport à la moyenne
Valeur absolue de la déviation

1
1 – 5 = -4
|-4| = 4

2
2 – 5 = -3
|-3| = 3

2
2 – 5 = -3
|-3| = 3

3
3 – 5 = -2
|-2| = 2

5
5 – 5 = 0
|0| = 0

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

9
9 – 5 = 4
|4| = 4

Total des écarts absolus :
24

Nous divisons maintenant cette somme par 10, puisqu’il y a un total de dix valeurs de données. L’écart moyen absolu par rapport à la moyenne est de 24/10 = 2,4.

Exemple : Moyenne Écart absolu par rapport à la moyenne

Nous commençons maintenant avec un ensemble de données différent :

1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.

Tout comme l’ensemble de données précédent, la moyenne de cet ensemble de données est de 5.

Valeur des données
Écart par rapport à la moyenne
Valeur absolue de la déviation

1
1 – 5 = -4
|-4| = 4

1
1 – 5 = -4
|-4| = 4

4
4 – 5 = -1
|-1| = 1

5
5 – 5 = 0
|0| = 0

5
5 – 5 = 0
|0| = 0

5
5 – 5 = 0
|0| = 0

5
5 – 5 = 0
|0| = 0

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

7
7 – 5 = 2
|2| = 2

10
10 – 5 = 5
|5| = 5

Total des écarts absolus :
18

Ainsi, l’écart moyen absolu par rapport à la moyenne est de 18/10 = 1,8. Nous comparons ce résultat au premier exemple. Bien que la moyenne ait été identique pour chacun de ces exemples, les données du premier exemple étaient plus étalées. Nous voyons dans ces deux exemples que l’écart moyen absolu par rapport au premier exemple est plus important que l’écart moyen absolu par rapport au deuxième exemple. Plus l’écart moyen absolu est grand, plus la dispersion de nos données est importante.

Exemple : Écart absolu moyen par rapport à la médiane

Commencez avec le même ensemble de données que dans le premier exemple :

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

La médiane de l’ensemble des données est de 6. Dans le tableau suivant, nous présentons les détails du calcul de l’écart moyen absolu par rapport à la médiane.

Valeur des données
Écart par rapport à la médiane
Valeur absolue de la déviation

1
1 – 6 = -5
|-5| = 5

2
2 – 6 = -4
|-4| = 4

2
2 – 6 = -4
|-4| = 4

3
3 – 6 = -3
|-3| = 3

5
5 – 6 = -1
|-1| = 1

7
7 – 6 = 1
|1| = 1

7
7 – 6 = 1
|1| = 1

7
7 – 6 = 1
|1| = 1

7
7 – 6 = 1
|1| = 1

9
9 – 6 = 3
|3| = 3

Total des écarts absolus :
24

Là encore, nous divisons le total par 10 et obtenons un écart moyen par rapport à la médiane, soit 24/10 = 2,4.

Exemple : Écart absolu moyen par rapport à la médiane

Commencez avec le même ensemble de données qu’auparavant :

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Cette fois-ci, le mode de cet ensemble de données est le 7. Dans le tableau suivant, nous présentons les détails du calcul de l’écart moyen absolu sur le mode.

Données
Déviation du mode
Valeur absolue de la déviation

1
1 – 7 = -6
|-5| = 6

2
2 – 7 = -5
|-5| = 5

2
2 – 7 = -5
|-5| = 5

3
3 – 7 = -4
|-4| = 4

5
5 – 7 = -2
|-2| = 2

7
7 – 7 = 0
|0| = 0

7
7 – 7 = 0
|0| = 0

7
7 – 7 = 0
|0| = 0

7
7 – 7 = 0
|0| = 0

9
9 – 7 = 2
|2| = 2

Total des écarts absolus :
22

Nous divisons la somme des écarts absolus et nous constatons que nous avons un écart absolu moyen sur le mode de 22/10 = 2,2.

En bref

Il existe quelques propriétés de base concernant les écarts moyens absolus

• L’écart moyen absolu par rapport à la médiane est toujours inférieur ou égal à l’écart moyen absolu par rapport à la moyenne.
• L’écart-type est supérieur ou égal à l’écart moyen absolu par rapport à la moyenne.
• L’écart moyen absolu est parfois abrégé par MAD. Malheureusement, cela peut être ambigu, car MAD peut se référer alternativement à l’écart absolu médian.
• L’écart absolu moyen pour une distribution normale est environ 0,8 fois la taille de l’écart type.

Utilisations communes

L’écart moyen absolu a quelques applications. La première application est que cette statistique peut être utilisée pour enseigner certaines des idées qui se cachent derrière l’écart type. L’écart moyen absolu par rapport à la moyenne est beaucoup plus facile à calculer que l’écart type. Elle ne nous oblige pas à élever les écarts au carré, et nous n’avons pas besoin de trouver une racine carrée à la fin de notre calcul. En outre, l’écart absolu moyen est plus intuitivement lié à la diffusion de l’ensemble de données que l’écart type. C’est pourquoi l’écart moyen absolu est parfois enseigné en premier, avant d’introduire l’écart type.

Certains sont allés jusqu’à soutenir que l’écart type devrait être remplacé par l’écart moyen absolu. Bien que l’écart-type soit important pour les applications scientifiques et mathématiques, il n’est pas aussi intuitif que l’écart moyen absolu. Pour les applications quotidiennes, l’écart moyen absolu est un moyen plus tangible de mesurer la dispersion des données.