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Cet article présente les concepts fondamentaux nécessaires pour analyser le mouvement des objets en deux dimensions, sans tenir compte des forces qui provoquent l’accélération en question. Un exemple de ce type de problème serait de lancer un ballon ou de tirer un boulet de canon. Il suppose une familiarité avec la cinématique unidimensionnelle, car il étend les mêmes concepts dans un espace vectoriel bidimensionnel.
Choix des coordonnées
La cinématique implique le déplacement, la vitesse et l’accélération, qui sont tous des quantités vectorielles nécessitant à la fois une magnitude et une direction. Par conséquent, pour commencer un problème de cinématique bidimensionnelle, vous devez d’abord définir le système de coordonnées que vous utilisez. Généralement, il s’agira d’un axe x et d’un axe y, orientés de manière à ce que le mouvement soit dans la direction positive, bien que dans certaines circonstances, ce ne soit pas la meilleure méthode.
Dans les cas où la gravité est prise en compte, il est d’usage de faire la direction de la gravité dans le sens y négatif. C’est une convention qui simplifie généralement le problème, même s’il serait possible d’effectuer les calculs avec une orientation différente si vous le souhaitez vraiment.
Vecteur de vitesse
Le vecteur de position r est un vecteur qui va de l’origine du système de coordonnées à un point donné du système. Le changement de position (ΔrLe point de départ (« Delta r ») est la différence entre le point de départ (r1) au point final (r2). Nous définissons la vitesse moyenne (vav) as :
vav = (r2 – r1) / (t2 – t1) = Δr/Δt
En prenant la limite au moment où Δt s’approche de 0, on obtient la vitesse instantanée v. En termes de calcul, c’est la dérivée de r en ce qui concerne t, ou dr/dt.
À mesure que la différence de temps diminue, les points de départ et d’arrivée se rapprochent. Puisque la direction de r est dans la même direction que vil devient évident que le vecteur vitesse instantanée en tout point de la trajectoire est tangent à la trajectoire.
Composantes de la vitesse
La caractéristique utile des quantités vectorielles est qu’elles peuvent être décomposées en leurs vecteurs composants. La dérivée d’un vecteur est donc la somme des dérivées de ses composants :
vx = dx/dtvy = dy/dt
L’amplitude du vecteur vitesse est donnée par le théorème de Pythagore sous la forme :
|v| = v = sqrt (vx2 + vy2)
La direction de v est orienté en degrés alpha dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à la composante x, et peut être calculé à partir de l’équation suivante :
tan alpha = vy / vx
Vecteur d’accélération
L’accélération est le changement de vitesse sur une période de temps donnée. Comme dans l’analyse ci-dessus, nous constatons que c’est Δv/Δt. La limite de cette valeur, lorsque Δt s’approche de 0, donne le dérivé de v en ce qui concerne t.
En termes de composantes, le vecteur d’accélération peut s’écrire comme :
ax = dvx/dtay = dvy/dt
ou
ax = d2x/dt2ay = d2y/dt2
La magnitude et l’angle (désignés par bêta pour distinguer de l’alpha) du vecteur d’accélération net sont calculés avec des composantes similaires à celles de la vitesse.
Travailler avec les composants
Souvent, la cinématique bidimensionnelle consiste à décomposer les vecteurs pertinents en leurs composantes x et y, puis à analyser chacune des composantes comme s’il s’agissait de cas unidimensionnels. Une fois cette analyse terminée, les composantes de la vitesse et/ou de l’accélération sont alors combinées pour obtenir les vecteurs de vitesse et/ou d’accélération bidimensionnels résultants.
Cinématique tridimensionnelle
Les équations ci-dessus peuvent toutes être étendues pour le mouvement en trois dimensions en ajoutant une composante z à l’analyse. Ceci est généralement assez intuitif, bien qu’il faille veiller à ce que cela soit fait dans le bon format, notamment en ce qui concerne le calcul de l’angle d’orientation du vecteur.
Sous la direction de Anne Marie Helmenstine, Ph.D.
