Comment calculer les cotes de Powerball

Powerball est une loterie multi-états qui est très populaire grâce à ses jackpots de plusieurs millions de dollars. Certains de ces jackpots atteignent des valeurs qui dépassent largement les 100 millions de dollars. Une question intéressante d’un point de vue probabiliste est : « Comment sont calculées les chances de gagner à Powerball ?

Le règlement

Nous allons d’abord examiner les règles de Powerball telles qu’elles sont actuellement configurées. Lors de chaque tirage, deux tambours remplis de balles sont mélangés et randomisés. Le premier tambour contient des boules blanches numérotées de 1 à 59. Cinq sont tirées de ce tambour sans être remplacées. Le deuxième tambour contient des boules rouges numérotées de 1 à 35. L’une d’entre elles est tirée au sort. L’objectif est de faire correspondre le plus grand nombre possible de ces numéros.

Les prix

Le jackpot complet est remporté lorsque les six numéros sélectionnés par un joueur correspondent parfaitement aux boules tirées. Il existe des prix de moindre valeur pour les correspondances partielles, pour un total de neuf façons différentes de gagner un certain montant de Powerball. Ces façons de gagner sont les suivantes :

• En faisant correspondre les cinq boules blanches et la boule rouge, vous remportez le grand prix du jackpot. La valeur de ce prix varie en fonction du temps écoulé depuis que quelqu’un a gagné le grand prix.
• En faisant correspondre les cinq boules blanches mais pas la boule rouge, on gagne 1 000 000 de dollars.
• En faisant correspondre exactement quatre des cinq boules blanches et la boule rouge, on gagne 10 000 dollars.
• Si quatre des cinq boules blanches, mais pas la boule rouge, sont identiques, vous gagnez 100 dollars.
• En faisant correspondre exactement trois des cinq boules blanches et la boule rouge, on gagne 100 dollars.
• Si vous faites correspondre exactement trois des cinq boules blanches mais pas la boule rouge, vous gagnez 7 $.
• En faisant correspondre exactement deux des cinq boules blanches et la boule rouge, on gagne 7 $.
• En faisant correspondre exactement une des cinq boules blanches et la boule rouge, on gagne 4 dollars.
• En ne faisant correspondre que la boule rouge, mais aucune des boules blanches, on gagne 4 dollars.

Nous examinerons comment calculer chacune de ces probabilités. Tout au long de ces calculs, il est important de noter que l’ordre dans lequel les balles sortent du tambour n’a pas d’importance. La seule chose qui importe est l’ensemble des balles qui sont tirées. C’est pourquoi nos calculs impliquent des combinaisons et non des permutations.

Le nombre total de combinaisons qui peuvent être tirées est également utile dans chaque calcul ci-dessous. Nous en avons cinq sélectionnées parmi les 59 boules blanches, ou en utilisant la notation pour les combinaisons, C(59, 5) = 5 006 386 façons pour que cela se produise. Il y a 35 façons de sélectionner la boule rouge, ce qui donne 35 x 5 006 386 = 175 223 510 sélections possibles.

Jackpot

Bien que le jackpot consistant à faire correspondre les six boules soit le plus difficile à obtenir, c’est la probabilité la plus facile à calculer. Parmi la multitude de 175 223 510 sélections possibles, il n’y a qu’une seule façon de gagner le jackpot. Ainsi, la probabilité qu’un billet particulier gagne le jackpot est de 1/175 223 510.

Cinq boules blanches

Pour gagner un million de dollars, nous devons faire correspondre les cinq boules blanches, mais pas la rouge. Il n’y a qu’une seule façon de faire correspondre les cinq. Il y a 34 façons de ne pas égaler la boule rouge. La probabilité de gagner 1 000 000 $ est donc de 34/175 223 510, soit environ 1/5 153 633.

Quatre boules blanches et une rouge

Pour un prix de 10 000 dollars, nous devons faire correspondre quatre des cinq boules blanches et la boule rouge. Il y a C(5,4) = 5 façons de faire correspondre quatre des cinq boules. La cinquième boule doit être l’une des 54 autres qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 1) = 54 façons de le faire. Il n’y a qu’une seule façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu’il y a 5 x 54 x 1 = 270 façons de faire correspondre exactement quatre boules blanches et la boule rouge, ce qui donne une probabilité de 270/175 223 510, soit environ 1/648 976.

Quatre boules blanches et pas de rouge

Une façon de gagner un prix de 100 $ est de trouver quatre des cinq boules blanches et de ne pas trouver la rouge. Comme dans le cas précédent, il y a C(5,4) = 5 façons d’égaler quatre des cinq. La cinquième boule doit être l’une des 54 autres qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 1) = 54 façons de le faire. Cette fois-ci, il y a 34 façons de ne pas égaler la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 5 x 54 x 34 = 9180 façons de faire correspondre exactement quatre boules blanches mais pas la boule rouge, ce qui donne une probabilité de 9180/175 223 510, soit environ 1/19 088.

Trois boules blanches et une rouge

Une autre façon de gagner un prix de 100 dollars consiste à associer exactement trois des cinq boules blanches à la boule rouge. Il y a C(5,3) = 10 façons de faire correspondre trois des cinq boules. Les boules blanches restantes doivent être l’une des 54 boules restantes qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 2) = 1431 façons de le faire. Il y a une façon de faire correspondre la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 10 x 1431 x 1 = 14 310 façons de faire correspondre exactement trois boules blanches et la boule rouge, ce qui donne une probabilité de 14 310/175 223 510, soit environ 1/12 245.

Trois boules blanches et pas de rouge

Une façon de gagner un prix de 7 $ est d’égaler exactement trois des cinq boules blanches et de ne pas égaler la rouge. Il y a C(5,3) = 10 façons d’égaler trois des cinq boules. Les boules blanches restantes doivent être l’une des 54 autres qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 2) = 1431 façons de le faire. Cette fois-ci, il y a 34 façons de ne pas faire correspondre la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 10 x 1431 x 34 = 486 540 façons de faire correspondre exactement trois boules blanches mais pas la rouge, ce qui donne une probabilité de 486 540/175 223 510, soit environ 1/360.

Deux boules blanches et une rouge

Une autre façon de gagner un prix de 7 dollars consiste à associer exactement deux des cinq boules blanches à la boule rouge. Il y a C(5,2) = 10 façons de faire correspondre deux des cinq boules. Les boules blanches restantes doivent être l’une des 54 autres qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 3) = 24 804 façons de le faire. Il y a une façon de faire correspondre la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 10 x 24 804 x 1 = 248 040 façons de faire correspondre exactement deux boules blanches et la boule rouge, ce qui donne une probabilité de 248 040/175 223 510, soit environ 1/706.

Une balle blanche et une rouge

Pour gagner un prix de 4 dollars, il suffit d’associer exactement une des cinq boules blanches à la boule rouge. Il y a C(5,4) = 5 façons de correspondre à l’une des cinq. Les boules blanches restantes doivent être l’une des 54 boules restantes qui n’ont pas été tirées, et il y a donc C(54, 4) = 316 251 façons de le faire. Il y a une façon de faire correspondre la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 5 x 316 251 x1 = 1 581 255 façons de faire correspondre exactement une boule blanche et la boule rouge, ce qui donne une probabilité de 1 581 255/175 223 510, soit environ 1/111.

Une balle rouge

Une autre façon de gagner un prix de 4 dollars consiste à ne pas égaler les cinq boules blanches, mais à égaler la boule rouge. Il y a 54 boules qui ne correspondent à aucune des cinq boules sélectionnées, et nous avons C(54, 5) = 3 162 510 façons de le faire. Il y a une façon de faire correspondre la boule rouge. Cela signifie qu’il y a 3 162 510 façons de n’obtenir aucune des boules sauf la rouge, ce qui donne une probabilité de 3 162 510/175 223 510, soit environ 1/55.

Cette affaire est quelque peu contre-intuitive. Il y a 36 boules rouges, on peut donc penser que la probabilité de correspondre à l’une d’entre elles serait de 1/36. Cependant, cela néglige les autres conditions imposées par les boules blanches. De nombreuses combinaisons impliquant la bonne boule rouge incluent également des correspondances sur certaines des boules blanches.