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En mathématiques, une équation linéaire est une équation qui contient deux variables et qui peut être tracée sur un graphique comme une ligne droite. Un système d’équations linéaires est un groupe de deux ou plusieurs équations linéaires qui contiennent toutes le même ensemble de variables. Les systèmes d’équations linéaires peuvent être utilisés pour modéliser des problèmes du monde réel. Ils peuvent être résolus en utilisant un certain nombre de méthodes différentes :
- Graphiques
- Substitution
- Élimination par addition
- Élimination par soustraction
Graphiques
Le graphisme est l’une des façons les plus simples de résoudre un système d’équations linéaires. Il suffit de représenter chaque équation sous forme de ligne et de trouver le(s) point(s) d’intersection des lignes.
Par exemple, considérez le système suivant d’équations linéaires contenant les variables x et y :
y = x + 3y = -1x – 3
Ces équations sont déjà écrites sous forme de pente-intercept, ce qui les rend faciles à représenter graphiquement. Si les équations n’étaient pas écrites sous forme de pente-intercept, il faudrait d’abord les simplifier. Une fois que cela est fait, la résolution de x et y ne nécessite que quelques étapes simples :
1. Graphiques des deux équations.
2. Trouvez le point d’intersection des équations. Dans ce cas, la réponse est (-3, 0).
3. Vérifiez que votre réponse est correcte en introduisant les valeurs x = -3 et y = 0 dans les équations d’origine.
y = x + 3(0) = (-3) + 30 = 0
y = -1x – 30 = -1(-3) – 30 = 3 – 30 = 0
Substitution
Une autre façon de résoudre un système d’équations est la substitution. Avec cette méthode, vous simplifiez essentiellement une équation et l’incorporez dans l’autre, ce qui vous permet d’éliminer une des variables inconnues.
Considérons le système suivant d’équations linéaires :
3x + y = 6x = 18 -3y
Dans la deuxième équation, x est déjà isolé. Si ce n’était pas le cas, nous devrions d’abord simplifier l’équation pour isoler x. Ayant isolé x dans la deuxième équation, nous pouvons alors remplacer le x de la première équation par la valeur équivalente de la deuxième équation : (18 – 3y).
1. Remplacer x dans la première équation par la valeur donnée de x dans la deuxième équation.
3 (18 – 3 ans) + y = 6
2. Simplifier chaque côté de l’équation.
54 – 9 ans + y = 654 – 8 ans = 6
3. Résoudre l’équation pour y.
54 – 8an – 54 = 6 – 54-8an = -48-8an/-8 = -48/-8
y = 6
4. Branchez y = 6 et résolvez x.
x = 18 -3yx = 18 -3(6)x = 18 – 18x = 0
5. Vérifiez que (0,6) est la solution.
x = 18 -3y0 = 18 – 3(6)0 = 18 -180 = 0
Élimination par addition
Si les équations linéaires qui vous sont données sont écrites avec les variables d’un côté et une constante de l’autre, la façon la plus simple de résoudre le système est par élimination.
Considérons le système suivant d’équations linéaires :
x + y = 1803x + 2y = 414
1. Tout d’abord, écrivez les équations les unes à côté des autres afin de pouvoir comparer facilement les coefficients de chaque variable.
2. Ensuite, multipliez la première équation par -3.
-3(x + y = 180)
3. Pourquoi avons-nous multiplié par -3 ? Ajoutez la première équation à la seconde pour le savoir.
-3x + -3y = -540+ 3x + 2y = 4140 + -1y = -126
Nous avons maintenant éliminé la variable x.
4. Résoudre la variable y :
y = 126
5. Branchez y = 126 pour trouver x.
x + y = 180x + 126 = 180x = 54
6. Vérifiez que (54, 126) est la bonne réponse.
3x + 2y = 4143(54) + 2(126) = 414414 = 414
Élimination par soustraction
Une autre façon de résoudre par élimination consiste à soustraire, plutôt qu’à ajouter, les équations linéaires données.
Considérons le système suivant d’équations linéaires :
y – 12x = 3y – 5x = -4
1. Au lieu d’ajouter les équations, nous pouvons les soustraire pour éliminer y.
y – 12x = 3- (y – 5x = -4)0 – 7x = 7
2. Résoudre pour x.
-7x = 7x = -1
3. Branchez x = -1 pour résoudre y.
y – 12x = 3y – 12(-1) = 3y + 12 = 3y = -9
4. Vérifiez que (-1, -9) est la bonne solution.
(-9) – 5(-1) = -4-9 + 5 = -4-4 = -4
