Comprendre les équations équivalentes en algèbre

Les équations équivalentes sont des systèmes d’équations qui ont les mêmes solutions. Identifier et résoudre des équations équivalentes est une compétence précieuse, non seulement en classe d’algèbre mais aussi dans la vie de tous les jours. Regardez des exemples d’équations équivalentes, comment les résoudre pour une ou plusieurs variables, et comment vous pourriez utiliser cette compétence en dehors d’une classe.

Points clés à retenir

• Les équations équivalentes sont des équations algébriques qui ont des solutions ou des racines identiques.
• L’addition ou la soustraction du même nombre ou de la même expression des deux côtés d’une équation produit une équation équivalente.
• La multiplication ou la division des deux côtés d’une équation par le même nombre non nul produit une équation équivalente.

Équations linéaires avec une variable

Les exemples les plus simples d’équations équivalentes n’ont pas de variables. Par exemple, ces trois équations sont équivalentes l’une à l’autre :

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Reconnaître que ces équations sont équivalentes est une bonne chose, mais pas particulièrement utile. Habituellement, un problème d’équation équivalente vous demande de résoudre une variable pour voir si elle est la même (la même racine) comme celui d’une autre équation.

Par exemple, les équations suivantes sont équivalentes :

Dans les deux cas, x = 5. Comment le savons-nous ? Comment résoudre l’équation « -2x = -10 » ? La première étape consiste à connaître les règles des équations équivalentes :

• L’addition ou la soustraction du même nombre ou de la même expression des deux côtés d’une équation produit une équation équivalente.
• La multiplication ou la division des deux côtés d’une équation par le même nombre non nul produit une équation équivalente.
• En élevant les deux côtés de l’équation à la même puissance bizarre ou en prenant la même racine bizarre, on obtient une équation équivalente.
• Si les deux côtés d’une équation ne sont pas négatifs, le fait d’élever les deux côtés d’une équation à la même puissance égale ou de prendre la même racine égale donnera une équation équivalente.

Exemple

En mettant ces règles en pratique, déterminez si ces deux équations sont équivalentes :

Pour résoudre ce problème, vous devez trouver « x » pour chaque équation. Si « x » est le même pour les deux équations, alors elles sont équivalentes. Si « x » est différent (c’est-à-dire si les équations ont des racines différentes), alors les équations ne sont pas équivalentes. Pour la première équation :

• x + 2 = 7
• x + 2 – 2 = 7 – 2 (en soustrayant les deux côtés par le même nombre)
• x = 5

Pour la deuxième équation :

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 – 1 = 11 – 1 (en soustrayant les deux côtés du même nombre)
• 2x = 10
• 2x/2 = 10/2 (en divisant les deux côtés de l’équation par le même nombre)
• x = 5

Donc, oui, les deux équations sont équivalentes car x = 5 dans chaque cas.

Équations équivalentes pratiques

Vous pouvez utiliser des équations équivalentes dans la vie quotidienne. C’est particulièrement utile pour les achats. Par exemple, vous aimez une chemise particulière. Une entreprise propose la chemise au prix de 6 $ et la livre à 12 $, tandis qu’une autre propose la chemise au prix de 7,50 $ et la livre à 9 $. Quelle chemise a le meilleur prix ? Combien de chemises (peut-être voulez-vous les offrir à des amis) devriez-vous acheter pour que le prix soit le même pour les deux entreprises ?

Pour résoudre ce problème, faisons en sorte que « x » soit le nombre de chemises. Pour commencer, fixez x =1 pour l’achat d’une chemise. Pour l’entreprise n°1 :

• Prix = 6x + 12 = (6)(1) + 12 = 6 + 12 = 18

Pour la société n°2 :

• Prix = 7,5x + 9 = (1)(7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50

Ainsi, si vous achetez une chemise, la deuxième entreprise vous propose une meilleure offre.

Pour trouver le point où les prix sont égaux, laissez « x » rester le nombre de chemises, mais fixez les deux équations égales l’une à l’autre. Résolvez « x » pour trouver le nombre de chemises que vous devriez acheter :

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x – 7,5x = 9 – 12 (en soustrayant les mêmes nombres ou expressions de chaque côté)
• -1.5x = -3
• 1,5x = 3 (en divisant les deux côtés par le même nombre, -1)
• x = 3/1,5 (en divisant les deux côtés par 1,5)
• x = 2

Si vous achetez deux chemises, le prix est le même, quel que soit l’endroit où vous les achetez. Vous pouvez utiliser le même calcul pour déterminer quelle entreprise vous offre un meilleur prix pour les grosses commandes et aussi pour calculer combien vous économiserez en utilisant une entreprise plutôt qu’une autre. Vous voyez, l’algèbre est utile !

Équations équivalentes à deux variables

Si vous avez deux équations et deux inconnues (x et y), vous pouvez déterminer si deux ensembles d’équations linéaires sont équivalents.

Par exemple, si on vous donne les équations :

• -3x + 12y = 15
• 7x – 10y = -2

Vous pouvez déterminer si le système suivant est équivalent :

Pour résoudre ce problème, trouvez « x » et « y » pour chaque système d’équations. Si les valeurs sont identiques, alors les systèmes d’équations sont équivalents.

Commencez par la première série. Pour résoudre deux équations à deux variables, isolez une variable et insérez sa solution dans l’autre équation. Pour isoler la variable « y » :

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 – 12y
• x = -(15 – 12y)/3 = -5 + 4y (brancher pour « x » dans la deuxième équation)
• 7x – 10y = -2
• 7(-5 + 4an) – 10an = -2
• -35 + 28 ans – 10 ans = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Maintenant, rebranchez « y » dans l’une ou l’autre des équations pour résoudre « x » :

• 7x – 10y = -2
• 7x = -2 + 10(11/6)

En y travaillant, vous obtiendrez finalement x = 7/3.

Pour répondre à la question, vous pourriez appliquer les mêmes principes à la deuxième série d’équations pour résoudre « x » et « y » afin de constater que oui, ils sont effectivement équivalents. Il est facile de s’enliser dans l’algèbre, c’est pourquoi il est bon de vérifier votre travail à l’aide d’un résolveur d’équations en ligne.

Cependant, l’élève intelligent remarquera que les deux séries d’équations sont équivalentes sans faire aucun calcul difficile. La seule différence entre la première équation de chaque ensemble est que la première est trois fois la seconde (équivalente). La deuxième équation est exactement la même.