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Les distributions de probabilités binomiales sont utiles dans un certain nombre de contextes. Il est important de savoir quand ce type de distribution doit être utilisé. Nous examinerons toutes les conditions nécessaires pour utiliser une distribution binomiale.
Les caractéristiques de base que nous devons avoir sont pour un total de n essais indépendants sont menés et nous voulons découvrir la probabilité de r succès, où chaque succès a une probabilité p de se produire. Plusieurs choses sont dites et sous-entendues dans cette brève description. La définition se résume à ces quatre conditions :
- Nombre fixe de procès
- Procès indépendants
- Deux classifications différentes
- La probabilité de succès reste la même pour tous les essais
Tous ces éléments doivent être présents dans le processus faisant l’objet de l’enquête afin d’utiliser la formule ou les tables de probabilité binomiale. Voici une brève description de chacun d’entre eux.
Procès fixes
Le processus faisant l’objet de l’enquête doit comporter un nombre clairement défini de procès qui ne varient pas. Nous ne pouvons pas modifier ce nombre à mi-parcours de notre analyse. Chaque procès doit être réalisé de la même manière que tous les autres, même si les résultats peuvent varier. Le nombre d’essais est indiqué par un n dans la formule.
Par exemple, si un processus est soumis à des essais fixes, on peut étudier les résultats de dix roulements d’un dé. Ici, chaque jet de dé est un essai. Le nombre total de fois que chaque essai est effectué est défini dès le départ.
Procès indépendants
Chacun des procès doit être indépendant. Chaque procès ne doit avoir absolument aucun effet sur les autres. Les exemples classiques de lancer deux dés ou de retourner plusieurs pièces illustrent des événements indépendants. Comme les événements sont indépendants, nous pouvons utiliser la règle de multiplication pour multiplier les probabilités ensemble.
Dans la pratique, notamment en raison de certaines techniques d’échantillonnage, il peut arriver que les essais ne soient pas techniquement indépendants. Une distribution binomiale peut parfois être utilisée dans ces situations, à condition que la population soit plus importante par rapport à l’échantillon.
Deux classifications
Chacun des essais est regroupé en deux catégories : les succès et les échecs. Bien que nous considérions généralement le succès comme une chose positive, il ne faut pas trop lire ce terme. Nous indiquons que l’essai est un succès en ce sens qu’il correspond à ce que nous avons décidé d’appeler un succès.
Comme cas extrême pour illustrer cela, supposons que nous testions le taux de défaillance des ampoules électriques. Si nous voulons savoir combien d’ampoules d’un lot ne fonctionneront pas, nous pourrions définir le succès de notre essai comme étant le moment où nous avons une ampoule qui ne fonctionne pas. L’échec de l’essai se produit lorsque l’ampoule fonctionne. Cela peut sembler un peu rétrograde, mais il peut y avoir de bonnes raisons de définir les succès et les échecs de notre essai comme nous l’avons fait. Il peut être préférable, à des fins de marquage, de souligner qu’il y a une faible probabilité qu’une ampoule ne fonctionne pas plutôt qu’une forte probabilité qu’une ampoule fonctionne.
Mêmes probabilités
Les probabilités de réussite des essais doivent rester les mêmes tout au long du processus que nous étudions. Le fait de retourner des pièces de monnaie en est un exemple. Quel que soit le nombre de pièces lancées, la probabilité de retourner une tête est de 1/2 à chaque fois.
C’est un autre endroit où la théorie et la pratique sont légèrement différentes. L’échantillonnage sans remplacement peut faire fluctuer légèrement les probabilités de chaque essai l’une par rapport à l’autre. Supposons qu’il y ait 20 beagles sur 1000 chiens. La probabilité de choisir un beagle au hasard est de 20/1000 = 0,020. Choisissez à nouveau parmi les chiens restants. Il y a 19 beagles sur 999 chiens. La probabilité de choisir un autre beagle est de 19/999 = 0,019. La valeur 0,2 est une estimation appropriée pour ces deux essais. Tant que la population est suffisamment importante, ce type d’estimation ne pose pas de problème pour l’utilisation de la distribution binomiale.
