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La distribution binomiale implique une variable aléatoire discrète. Les probabilités dans un cadre binomial peuvent être calculées de manière simple en utilisant la formule d’un coefficient binomial. Alors qu’en théorie, il s’agit d’un calcul facile, en pratique, il peut devenir assez fastidieux ou même impossible de calculer les probabilités binomiales. Ces problèmes peuvent être évités en utilisant plutôt une distribution normale pour se rapprocher d’une distribution binomiale. Nous verrons comment faire en passant par les étapes d’un calcul.
Étapes à suivre pour utiliser l’approximation normale
Nous devons d’abord déterminer s’il est approprié d’utiliser l’approximation normale. Toutes les distributions binomiales ne sont pas identiques. Certaines présentent une asymétrie suffisante pour que nous ne puissions pas utiliser une approximation normale. Pour vérifier si l’approximation normale doit être utilisée, nous devons examiner la valeur de p, qui est la probabilité de succès, et n, qui est le nombre d’observations de notre variable binomiale.
Afin d’utiliser l’approximation normale, nous considérons à la fois np et n( 1 – p ). Si ces deux nombres sont supérieurs ou égaux à 10, nous sommes alors justifiés d’utiliser l’approximation normale. Il s’agit d’une règle empirique générale, et en général, plus les valeurs de np et n( 1 – p ) sont grandes, meilleure est l’approximation.
Comparaison entre le binôme et la normale
Nous allons comparer une probabilité binomiale exacte avec celle obtenue par une approximation normale. Nous considérons le tirage au sort de 20 pièces et voulons connaître la probabilité que cinq pièces ou moins soient des têtes. Si X est le nombre de têtes, alors nous voulons en trouver la valeur :
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
L’utilisation de la formule binomiale pour chacune de ces six probabilités nous montre que la probabilité est de 2,0695%. Nous allons maintenant voir à quel point notre approximation normale sera proche de cette valeur.
En vérifiant les conditions, on constate que np et np(1 – p) sont tous deux égaux à 10. Cela montre que nous pouvons utiliser l’approximation normale dans ce cas. Nous utiliserons une distribution normale avec une moyenne de np = 20(0,5) = 10 et un écart-type de (20(0,5)(0,5))0,5 = 2,236.
Pour déterminer la probabilité que X soit inférieur ou égal à 5, nous devons trouver le z-score pour 5 dans la distribution normale que nous utilisons. Ainsi, z = (5 – 10)/2,236 = -2,236. En consultant un tableau de z-scores, nous constatons que la probabilité que z soit inférieur ou égal à -2,236 est de 1,267%. Cette probabilité est différente de la probabilité réelle, mais elle se situe dans les 0,8 %.
Facteur de correction de la continuité
Pour améliorer notre estimation, il convient d’introduire un facteur de correction de continuité. Ce facteur est utilisé parce qu’une distribution normale est continue alors que la distribution binomiale est discrète. Pour une variable aléatoire binomiale, un histogramme de probabilité pour X = 5 comprendra une barre allant de 4,5 à 5,5 et centrée sur 5.
Cela signifie que pour l’exemple ci-dessus, la probabilité que X soit inférieur ou égal à 5 pour une variable binomiale doit être estimée par la probabilité que X soit inférieur ou égal à 5,5 pour une variable normale continue. Ainsi, z = (5,5 – 10)/2,236 = -2,013. La probabilité que z
