Contents
Une des utilisations de la distribution chi carré est la réalisation de tests d’hypothèse pour les expériences multinomiales. Pour voir comment fonctionne ce test d’hypothèse, nous allons étudier les deux exemples suivants. Les deux exemples fonctionnent selon le même ensemble d’étapes :
- Formuler les hypothèses nulles et alternatives
- Calculer la statistique du test
- Trouver la valeur critique
- Prendre une décision sur le rejet ou non de notre hypothèse nulle.
Exemple 1 : Une pièce de monnaie équitable
Pour notre premier exemple, nous voulons regarder une pièce de monnaie. Une pièce juste a une probabilité égale de 1/2 de tomber pile ou face. Nous lançons une pièce de monnaie 1000 fois et enregistrons les résultats d’un total de 580 faces et 420 queues. Nous voulons tester l’hypothèse à un niveau de confiance de 95 % que la pièce que nous avons tirée est juste. Plus formellement, l’hypothèse nulle H0 est que la pièce est juste. Puisque nous comparons les fréquences observées des résultats d’un tirage au sort aux fréquences attendues d’une pièce de monnaie équitable idéalisée, il convient d’utiliser un test du chi carré.
Calculer la statistique du chi carré
Nous commençons par calculer la statistique du chi carré pour ce scénario. Il y a deux événements, pile et face. Pile a une fréquence observée de f1 = 580 avec une fréquence attendue de e1 = 50% x 1000 = 500. La queue a une fréquence observée de f2 = 420 avec une fréquence attendue de e1 = 500.
Nous utilisons maintenant la formule de la statistique du chi carré et nous constatons que χ2 = (f1 – e1 )2/e1 + (f2 – e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25,6.
Trouver la valeur critique
Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du chi carré. Comme il y a deux résultats pour la pièce, il y a deux catégories à prendre en compte. Le nombre de degrés de liberté est inférieur de un au nombre de catégories : 2 – 1 = 1. Nous utilisons la distribution du chi carré pour ce nombre de degrés de liberté et voyons que χ20.95=3.841.
Rejeter ou ne pas rejeter ?
Enfin, nous comparons la statistique du chi carré calculée avec la valeur critique du tableau. Puisque 25,6 > 3,841, nous rejetons l’hypothèse nulle selon laquelle il s’agit d’une pièce juste.
Exemple 2 : Une mort équitable
Un dé juste a une probabilité égale de 1/6 de lancer un, deux, trois, quatre, cinq ou six. On lance un dé 600 fois et on note que l’on obtient un 1 106 fois, un 2 90 fois, un 3 98 fois, un 4 102 fois, un 5 100 fois et un 6 104 fois. Nous voulons tester l’hypothèse à un niveau de confiance de 95% que nous avons un dé juste.
Calculer la statistique du chi carré
Il y a six événements, chacun avec une fréquence prévue de 1/6 x 600 = 100. Les fréquences observées sont f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Nous utilisons maintenant la formule de la statistique du chi carré et voyons que χ2 = (f1 – e1 )2/e1 + (f2 – e2 )2/e2+ (f3 – e3 )2/e3+(f4 – e4 )2/e4+(f5 – e5 )2/e5+(f6 – e6 )2/e6 = 1,6.
Trouver la valeur critique
Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du chi carré. Comme il existe six catégories de résultats pour le dé, le nombre de degrés de liberté est inférieur de un : 6 – 1 = 5. Nous utilisons la distribution du chi carré pour cinq degrés de liberté et voyons que χ20.95=11.071.
Rejeter ou ne pas rejeter ?
Enfin, nous comparons la statistique du chi carré calculée avec la valeur critique du tableau. Comme la statistique du chi carré calculée est de 1,6 est inférieure à notre valeur critique de 11,071, nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse nulle.
