La probabilité de faire du Yahtzee

Le Yahtzee est un jeu de dés qui combine chance et stratégie. Un joueur commence son tour en lançant cinq dés. Après ce jet, le joueur peut décider de relancer un nombre quelconque de dés. Au maximum, il y a un total de trois lancers pour chaque tour. Après ces trois jets, le résultat des dés est inscrit sur une feuille de score. Cette feuille de score contient différentes catégories, comme un full ou une grande suite. Chacune des catégories est satisfaite par différentes combinaisons de dés.

La catégorie la plus difficile à remplir est celle du Yahtzee. Un Yahtzee se produit lorsqu’un joueur lance cinq du même nombre. Quelle est la probabilité d’un Yahtzee ? C’est un problème beaucoup plus compliqué que de trouver des probabilités pour deux ou même trois dés. La raison principale est qu’il existe de nombreuses façons d’obtenir cinq dés identiques en trois lancers.

Nous pouvons calculer la probabilité de lancer un Yahtzee en utilisant la formule combinatoire pour les combinaisons, et en décomposant le problème en plusieurs cas mutuellement exclusifs.

Un rouleau

Le cas le plus simple à envisager est d’obtenir un Yahtzee dès le premier tour. Nous examinerons d’abord la probabilité de lancer un Yahtzee particulier de cinq deux, puis nous l’étendrons facilement à la probabilité de n’importe quel Yahtzee.

La probabilité de lancer un deux est de 1/6, et le résultat de chaque dé est indépendant du reste. Ainsi, la probabilité de lancer cinq deux est de (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilité de lancer cinq d’une sorte de tout autre nombre est également de 1/7776. Comme il y a un total de six nombres différents sur un dé, nous multiplions la probabilité ci-dessus par 6.

Cela signifie que la probabilité d’un Yahtzee sur le premier lancer est de 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 pour cent.

Deux rouleaux

Si nous lançons autre chose que cinq d’une sorte de premier jet, nous devrons relancer certains de nos dés pour essayer d’obtenir un Yahtzee. Supposons que notre premier jet de dé contienne un quatre. Nous relancerons le seul dé qui ne correspond pas et nous obtiendrons un Yahtzee lors de ce second jet.

La probabilité de rouler un total de cinq fois de cette manière se présente comme suit :

1. Sur le premier rouleau, nous en avons quatre deux. Comme il y a une probabilité de 1/6 d’obtenir un 2 et de 5/6 de ne pas obtenir un 2, nous multiplions (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (5/6) = 5/7776.
2. N’importe lequel des cinq dés lancés peut être le non deux. Nous utilisons notre formule de combinaison pour C(5, 1) = 5 pour compter combien de fois nous pouvons lancer quatre deux et quelque chose qui n’est pas un deux.
3. On multiplie et on voit que la probabilité de faire exactement quatre fois deux au premier lancer est de 25/7776.
4. Pour le deuxième lancer, nous devons calculer la probabilité de faire un deux. C’est 1/6. Ainsi, la probabilité de lancer un Yahtzee de deux de la manière ci-dessus est (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Pour connaître la probabilité de lancer un Yahtzee de cette manière, il faut multiplier la probabilité ci-dessus par 6 car il y a six nombres différents sur un dé. On obtient ainsi une probabilité de 6 x 25/46656 = 0,32 %.

Mais ce n’est pas la seule façon de rouler un Yahtzee avec deux rouleaux. Toutes les probabilités suivantes se retrouvent à peu près de la même manière que ci-dessus :

• Nous pourrions en lancer trois d’une sorte, puis deux dés qui correspondent à notre second lancer. La probabilité est de 6 x C(5 ,3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 %.
• Nous pourrions lancer une paire assortie, et lors de notre deuxième lancer trois dés qui correspondent. La probabilité est de 6 x C(5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 %.
• Nous pourrions lancer cinq dés différents, en sauver un de notre premier lancer, puis en lancer quatre autres qui correspondent au second. La probabilité est de (6!/7776) x (1/1296) = 0,01 %.

Les cas ci-dessus s’excluent mutuellement. Cela signifie que pour calculer la probabilité de faire rouler un Yahtzee en deux fois, nous additionnons les probabilités ci-dessus et nous obtenons environ 1,23 %.

Trois rouleaux

Pour la situation la plus compliquée à ce jour, nous allons maintenant examiner le cas où nous utilisons nos trois rouleaux pour obtenir un Yahtzee. Nous pourrions le faire de plusieurs façons et devons les prendre toutes en compte.

Les probabilités de ces possibilités sont calculées ci-dessous :

• La probabilité de lancer quatre d’une sorte, puis rien, puis de faire correspondre le dernier dé au dernier lancé est de 6 x C(5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 %.
• La probabilité de faire un tri, puis de ne rien faire, puis de faire correspondre avec la bonne paire au dernier lancer est de 6 x C(5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 %.
• La probabilité de faire rouler une paire correspondante, puis rien, puis de faire correspondre avec les trois bons d’une sorte au troisième rouleau est de 6 x C(5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) = 0,21 pour cent.
• La probabilité de lancer un seul dé, puis de ne rien faire correspondre, puis de faire correspondre le bon quatre d’une sorte au troisième lancer est de (6!/7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 %.
• La probabilité de lancer trois d’entre eux, correspondant à un dé supplémentaire au prochain jet de dé, puis au cinquième dé au troisième jet est de 6 x C(5, 3) x (25/7776) x C(2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 %.
• La probabilité de lancer une paire, de faire correspondre une paire supplémentaire au prochain jet de dé, puis de faire correspondre le cinquième dé au troisième jet est de 6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 %.
• La probabilité de lancer une paire, de faire correspondre un dé supplémentaire au prochain lancer, puis de faire correspondre les deux derniers dés au troisième lancer est de 6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 %.
• La probabilité de lancer un « un de la sorte », un autre dé pour le faire correspondre au deuxième jet, puis un « trois de la sorte » au troisième jet est de (6!/7776) x C(4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 %.
• La probabilité d’obtenir une correspondance entre un seul et un trois de ce type lors du deuxième lancement, puis une correspondance lors du troisième lancement est de (6!/7776) x C(4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 %.
• La probabilité de lancer une paire unique, une paire qui correspond au deuxième lancé, puis une autre paire qui correspond au troisième lancé est de (6!/7776) x C(4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 %.

Nous additionnons toutes les probabilités ci-dessus pour déterminer la probabilité de lancer un Yahtzee en trois fois. Cette probabilité est de 3,43 %.

Probabilité totale

La probabilité d’un Yahtzee en un seul lancer est de 0,08 %, la probabilité d’un Yahtzee en deux lancers est de 1,23 % et la probabilité d’un Yahtzee en trois lancers est de 3,43 %. Comme chacune de ces probabilités s’excluent mutuellement, nous les additionnons. Cela signifie que la probabilité d’obtenir un Yahtzee à un tour donné est d’environ 4,74 %. Pour mettre les choses en perspective, puisque 1/21 est environ 4,74 %, le seul hasard fait qu’un joueur devrait s’attendre à obtenir un Yahtzee tous les 21 tours. En pratique, cela peut prendre plus de temps car une paire initiale peut être écartée pour obtenir autre chose, comme une suite.