Contents
Le jeu de Yahtzee implique l’utilisation de cinq dés standard. À chaque tour, les joueurs ont droit à trois lancers. Après chaque lancer, un nombre quelconque de dés peut être conservé, le but étant d’obtenir des combinaisons particulières de ces dés. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.
L’un de ces types de combinaisons est appelé « full house ». Comme le full house au poker, cette combinaison comprend trois d’un certain nombre et une paire d’un nombre différent. Comme le Yahtzee implique le lancement aléatoire de dés, ce jeu peut être analysé en utilisant des probabilités pour déterminer la probabilité de lancer un full en un seul coup.
Hypothèses
Nous commencerons par énoncer nos hypothèses. Nous partons du principe que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Cela signifie que nous disposons d’un espace d’échantillonnage uniforme constitué de tous les jets possibles des cinq dés. Bien que le jeu de Yahtzee permette de faire trois lancers, nous n’envisagerons que le cas où nous obtiendrions un full en un seul lancer.
Exemple d’espace
Comme nous travaillons avec un espace d’échantillonnage uniforme, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d’un full est le nombre de façons de faire un full, divisé par le nombre de résultats dans l’espace d’échantillonnage.
Le nombre de résultats dans l’espace de l’échantillon est simple. Comme il y a cinq dés et que chacun de ces dés peut avoir l’un des six résultats différents, le nombre de résultats dans l’espace d’échantillonnage est de 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Nombre de chambres pleines
Ensuite, nous calculons le nombre de façons de faire un full. C’est un problème plus difficile. Pour obtenir un full, il faut trois dés d’un même type, suivis d’une paire de dés d’un type différent. Nous allons diviser ce problème en deux parties :
- Quel est le nombre de différents types de full houses qui pourraient être roulés ?
- Quel est le nombre de façons dont un type particulier de full house pourrait être roulé ?
Une fois que nous connaissons le nombre de chacun d’entre eux, nous pouvons les multiplier ensemble pour obtenir le nombre total de maisons pleines qui peuvent être roulées.
Nous commençons par examiner le nombre de différents types de full houses qui peuvent être roulés. N’importe lequel des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pourrait être utilisé pour les trois d’un même type. Il reste cinq numéros pour la paire. Il y a donc 6 x 5 = 30 types différents de combinaisons de full house qui peuvent être lancés.
Par exemple, nous pourrions avoir 5, 5, 5, 2, 2 comme un type de full house. Un autre type de full house serait 4, 4, 4, 1, 1, et un autre encore serait 1, 1, 4, 4, 4, qui est différent du précédent full house parce que les rôles des quatre et des un ont été inversés.
Maintenant, nous déterminons les différentes façons de faire un full particulier. Par exemple, chacune des méthodes suivantes nous donne le même full de trois quatre et de deux un :
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
On voit qu’il y a au moins cinq façons de faire un full particulier. Y en a-t-il d’autres ? Même si nous continuons à énumérer d’autres possibilités, comment savons-nous que nous les avons toutes trouvées ?
La clé pour répondre à ces questions est de réaliser que nous avons affaire à un problème de comptage et de déterminer le type de problème de comptage avec lequel nous travaillons. Il y a cinq postes, dont trois doivent être pourvus par un quatre. L’ordre dans lequel nous plaçons nos quatre n’a pas d’importance tant que les postes exacts sont occupés. Une fois que la position des quatre a été déterminée, le placement des quatre est automatique. Pour ces raisons, nous devons considérer la combinaison de cinq positions prises trois à la fois.
Nous utilisons la formule de combinaison pour obtenir C(5, 3 ) = 5!/(3!2 !) = (5 x 4) / 2 = 10. Cela signifie qu’il y a 10 façons différentes de faire un full donné.
Si l’on met tout cela ensemble, nous avons notre nombre de full houses. Il y a 10 x 30 = 300 façons d’obtenir un full en un seul rouleau.
Probabilité
La probabilité d’un full est maintenant un simple calcul de division. Comme il y a 300 façons de faire un full en un seul jet et qu’il y a 7776 jets de cinq dés possibles, la probabilité de faire un full est de 300/7776, ce qui est proche de 1/26 et 3,85%. C’est 50 fois plus probable que de lancer un Yahtzee en un seul lancer.
Bien sûr, il est très probable que le premier rouleau ne soit pas complet. Si c’est le cas, nous avons droit à deux autres rouleaux, ce qui rend le full beaucoup plus probable. Cette probabilité est beaucoup plus compliquée à déterminer en raison de toutes les situations possibles qu’il faudrait envisager.
