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Selon la probabilité, deux événements sont dits mutuellement exclusifs si et seulement si les événements n’ont pas de résultats communs. Si nous considérons les événements comme des ensembles, nous dirions que deux événements sont mutuellement exclusifs lorsque leur intersection est l’ensemble vide. Nous pourrions indiquer que les événements A et B sont mutuellement exclusifs par la formule A ∩ B = Ø. Comme pour de nombreux concepts de probabilité, quelques exemples aideront à donner un sens à cette définition.
Les dés qui roulent
Supposons que nous lancions deux dés à six faces et que nous ajoutions le nombre de points apparaissant sur le dessus des dés. L’événement « la somme est paire » est mutuellement exclusif de l’événement « la somme est impaire ». La raison en est qu’il n’est pas possible qu’un nombre soit pair et impair.
Nous allons maintenant mener la même expérience de probabilité en lançant deux dés et en additionnant les chiffres indiqués. Cette fois, nous considérerons l’événement consistant à avoir une somme impaire et l’événement consistant à avoir une somme supérieure à neuf. Ces deux événements ne sont pas mutuellement exclusifs.
La raison en est évidente lorsque l’on examine les résultats des événements. Le premier événement a des résultats de 3, 5, 7, 9 et 11. Le deuxième événement a des résultats de 10, 11 et 12. Puisque 11 se trouve dans ces deux catégories, les événements ne s’excluent pas mutuellement.
Cartes à dessin
Nous illustrons plus loin avec un autre exemple. Supposons que nous tirons une carte d’un jeu standard de 52 cartes. Le tirage d’un cœur n’est pas incompatible avec le tirage d’un roi. En effet, une carte (le roi de cœur) apparaît dans ces deux cas.
Pourquoi est-ce important ?
Il est parfois très important de déterminer si deux événements s’excluent mutuellement ou non. Savoir si deux événements sont mutuellement exclusifs influence le calcul de la probabilité que l’un ou l’autre se produise.
Revenez à l’exemple de la carte. Si nous tirons une carte d’un jeu de 52 cartes standard, quelle est la probabilité que nous ayons tiré un cœur ou un roi ?
Tout d’abord, décomposez cela en événements individuels. Pour déterminer la probabilité que nous ayons tiré un cœur, nous comptons d’abord le nombre de cœurs dans le jeu comme étant 13, puis nous le divisons par le nombre total de cartes. Cela signifie que la probabilité qu’un cœur soit tiré est de 13/52.
Pour déterminer la probabilité que nous ayons tiré un roi, nous commençons par compter le nombre total de rois, ce qui donne quatre, et nous divisons ensuite par le nombre total de cartes, qui est de 52. La probabilité que nous ayons tiré un roi est de 4/52.
Le problème est maintenant de trouver la probabilité de dessiner soit un roi, soit un cœur. C’est là que nous devons être prudents. Il est très tentant de simplement additionner les probabilités de 13/52 et 4/52. Ce ne serait pas correct car les deux événements ne s’excluent pas mutuellement. Le roi de cœur a été compté deux fois dans ces probabilités. Pour contrer le double comptage, il faut soustraire la probabilité de tirer un roi et un cœur, qui est de 1/52. Par conséquent, la probabilité que nous ayons tiré un roi ou un cœur est de 16/52.
Autres utilisations de l’exclusivité mutuelle
Une formule connue sous le nom de règle d’addition donne une autre façon de résoudre un problème tel que celui ci-dessus. La règle de l’addition se réfère en fait à deux formules étroitement liées l’une à l’autre. Nous devons savoir si nos événements s’excluent mutuellement afin de savoir quelle formule d’addition il convient d’utiliser.
