La théorie des ensembles et son utilisation

La théorie des ensembles est un concept fondamental dans toutes les mathématiques. Cette branche des mathématiques constitue une base pour d’autres sujets.

Intuitivement, un ensemble est une collection d’objets, que l’on appelle des éléments. Bien que cela semble être une idée simple, elle a des conséquences d’une grande portée.

Éléments

Les éléments d’un ensemble peuvent vraiment être n’importe quoi – les nombres, les états, les voitures, les personnes ou même d’autres ensembles sont tous des possibilités d’éléments. Presque tout ce qui peut être rassemblé peut être utilisé pour former un ensemble, bien qu’il y ait certaines choses auxquelles nous devons faire attention.

Égalité des jeux

Les éléments d’un ensemble sont soit dans un ensemble ou non dans un ensemble. On peut décrire un ensemble par une propriété déterminante, ou on peut énumérer les éléments de l’ensemble. L’ordre dans lequel ils sont listés n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {1, 2, 3} et {1, 3, 2} sont des ensembles égaux, car ils contiennent tous deux les mêmes éléments.

Deux ensembles spéciaux

Deux séries méritent une mention spéciale. Le premier est l’ensemble universel, généralement désigné par la lettre U. Cet ensemble est constitué de tous les éléments parmi lesquels nous pouvons choisir. Cet ensemble peut être différent d’un paramètre à l’autre. Par exemple, un ensemble universel peut être l’ensemble des nombres réels alors que pour un autre problème, l’ensemble universel peut être les nombres entiers {0, 1, 2,…}.

L’autre ensemble qui requiert une certaine attention est appelé l’ensemble vide. L’ensemble vide est l’ensemble unique est l’ensemble sans éléments. On peut l’écrire sous la forme { } et désigner cet ensemble par le symbole ∅.

Les sous-ensembles et l’ensemble des pouvoirs

Un ensemble de certains des éléments d’un ensemble A est appelé un sous-ensemble de A. Nous disons que A est un sous-ensemble de B si et seulement si chaque élément de A est également un élément de B. S’il y a un nombre fini n d’éléments dans un ensemble, alors il y a un total de 2n sous-ensembles de A. Cet ensemble de tous les sous-ensembles de A est un ensemble qui est appelé l’ensemble de puissance de A.

Opérations de plateau

Tout comme nous pouvons effectuer des opérations telles que l’addition – sur deux nombres pour obtenir un nouveau nombre, les opérations de la théorie des ensembles sont utilisées pour former un ensemble à partir de deux autres ensembles. Il existe un certain nombre d’opérations, mais presque toutes sont composées à partir des trois opérations suivantes :

• Union – Une union signifie un rassemblement. L’union des ensembles A et B est constituée des éléments qui se trouvent soit dans A, soit dans B.
• Intersection – Une intersection est l’endroit où deux choses se rencontrent. L’intersection des ensembles A et B est constituée des éléments qui, dans A et B, sont à la fois
• Complément – Le complément de l’ensemble A est constitué de tous les éléments de l’ensemble universel qui ne sont pas des éléments de A.

Diagrammes de Venn

Le diagramme de Venn est un outil utile pour représenter la relation entre différents ensembles. Un rectangle représente l’ensemble universel de notre problème. Chaque ensemble est représenté par un cercle. Si les cercles se chevauchent, cela illustre l’intersection de nos deux ensembles.

Applications de la théorie des ensembles

La théorie des ensembles est utilisée dans toutes les mathématiques. Elle est utilisée comme base pour de nombreux sous-domaines des mathématiques. Dans les domaines relatifs aux statistiques, elle est particulièrement utilisée en probabilité. La plupart des concepts de probabilité sont dérivés des conséquences de la théorie des ensembles. En effet, une façon d’énoncer les axiomes de la probabilité implique la théorie des ensembles.