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En mathématiques, les symboles qui ont certaines significations dans la langue anglaise peuvent signifier des choses très spécialisées et différentes. Prenons par exemple l’expression suivante :
3 !
Non, nous n’avons pas utilisé le point d’exclamation pour montrer que nous sommes excités à propos de trois, et nous ne devrions pas lire la dernière phrase avec insistance. En mathématiques, l’expression 3 ! est lue comme « trois factoriels » et est en fait une manière abrégée de désigner la multiplication de plusieurs nombres entiers consécutifs.
Comme il y a de nombreux endroits dans les mathématiques et les statistiques où nous devons multiplier des nombres ensemble, le factoriel est très utile. Les principaux endroits où il apparaît sont la combinatoire et le calcul des probabilités.
Définition
La définition de la factorielle est que pour tout nombre entier positif n, la factorielle :
n ! = n x (n -1) x (n – 2) x … x 2 x 1
Exemples pour les petites valeurs
Nous allons d’abord examiner quelques exemples de la factorielle avec de petites valeurs de n :
- 1 ! = 1
- 2 ! = 2 x 1 = 2
- 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6
- 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
- 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
- 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
- 8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
- 9 ! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
- 10 ! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800
Comme on peut le voir, la factorielle devient très vite très importante. Quelque chose qui peut sembler petit, comme 20 ! a en fait 19 chiffres.
Les facteurs sont faciles à calculer, mais ils peuvent être quelque peu fastidieux à calculer. Heureusement, de nombreuses calculatrices disposent d’une clé factorielle (cherchez le symbole !). Cette fonction de la calculatrice permet d’automatiser les multiplications.
Un cas particulier
Une autre valeur de la factorielle, pour laquelle la définition standard ci-dessus ne s’applique pas, est celle de la factorielle zéro. Si nous suivons la formule, nous n’arriverons à aucune valeur pour 0 ! Il n’y a pas de nombres entiers positifs inférieurs à 0. Pour plusieurs raisons, il convient de définir 0 ! = 1. La factorielle de cette valeur apparaît notamment dans les formules de combinaisons et de permutations.
Calculs plus avancés
Lorsqu’il s’agit de calculs, il est important de réfléchir avant d’appuyer sur la touche factorielle de notre calculatrice. Pour calculer une expression telle que 100!/98 !, il y a plusieurs façons de procéder.
L’une des méthodes consiste à utiliser une calculatrice pour trouver 100 ! et 98 !, puis à diviser l’un par l’autre. Bien que ce soit une façon directe de calculer, elle présente certaines difficultés. Certaines calculatrices ne peuvent pas traiter des expressions aussi grandes que 100 ! = 9,33262154 x 10157. (L’expression 10157 est une notation scientifique qui signifie que nous multiplions par 1 suivi de 157 zéros). Non seulement ce nombre est massif, mais il ne s’agit que d’une estimation de la valeur réelle de 100 !
Une autre façon de simplifier une expression avec des factoriels comme celui que nous voyons ici ne nécessite pas du tout de calculatrice. La façon d’aborder ce problème est de reconnaître que nous pouvons réécrire 100 ! non pas comme 100 x 99 x 98 x 97 x . . . x 2 x 1, mais plutôt comme 100 x 99 x 98 ! L’expression 100!/98 ! devient alors (100 x 99 x 98 !)/98 ! = 100 x 99 = 9900.
