Contents
Avant de commencer un problème de cinématique, vous devez mettre en place votre système de coordonnées. Dans la cinématique unidimensionnelle, il s’agit simplement d’un axe x et la direction du mouvement est généralement la direction positive-x.
Bien que le déplacement, la vitesse et l’accélération soient tous des quantités vectorielles, dans le cas unidimensionnel, ils peuvent tous être traités comme des quantités scalaires avec des valeurs positives ou négatives pour indiquer leur direction. Les valeurs positives et négatives de ces quantités sont déterminées par le choix de la manière dont vous alignez le système de coordonnées.
La vitesse dans la cinématique unidimensionnelle
La vitesse représente le taux de variation du déplacement sur une période donnée.
Le déplacement en une dimension est généralement représenté par rapport à un point de départ de x1 et x2. Le temps que l’objet en question se trouve à chaque point est désigné par t1 et t2 (toujours en supposant que t2 est plus tard que t1, car le temps ne procède que dans un sens). La variation d’une quantité d’un point à un autre est généralement indiquée par la lettre grecque delta, Δ, sous la forme de :
En utilisant ces notations, il est possible de déterminer la vitesse moyenne (vav) de la manière suivante :
vav = (x2 – x1) / (t2 – t1) = Δx / Δt
Si vous appliquez une limite lorsque Δt s’approche de 0, vous obtenez une vitesse instantanée à un point précis du trajet. Une telle limite en calcul est la dérivée de x par rapport à t, ou dx/dt.
Accélération de la cinématique unidimensionnelle
L’accélération représente le taux de changement de la vitesse dans le temps. En utilisant la terminologie introduite précédemment, nous voyons que l’accélération moyenne (aav) est :
aav = (v2 – v1) / (t2 – t1) = Δx / Δt
Là encore, nous pouvons appliquer une limite lorsque Δt s’approche de 0 pour obtenir une accélération instantanée à un point précis du trajet. La représentation du calcul est la dérivée de v par rapport à t, ou dv/dt. De même, puisque v est la dérivée de x, l’accélération instantanée est la seconde dérivée de x par rapport à t, ou d2x/dt2.
Accélération constante
Dans plusieurs cas, comme le champ gravitationnel de la Terre, l’accélération peut être constante – en d’autres termes, la vitesse change à la même vitesse tout au long du mouvement.
En utilisant notre travail précédent, réglez le temps à 0 et l’heure de fin comme t (image démarrant un chronomètre à 0 et le terminant au moment qui nous intéresse). La vitesse au temps 0 est v0 et au temps t est v, ce qui donne les deux équations suivantes :
a = (v – v0)/(t – 0)
v = v0 + at
En appliquant les équations précédentes de vav pour x0 au temps 0 et x au temps t, et en appliquant certaines manipulations (que je ne prouverai pas ici), on obtient :
x = x0 + v0t + 0,5at2
v2 = v02 + 2a(x – x0)
x – x0 = (v0 + v)t / 2
Les équations de mouvement ci-dessus avec une accélération constante peuvent être utilisées pour résoudre tout problème cinématique impliquant le mouvement d’une particule en ligne droite avec une accélération constante.
