Contents
Les moments de statistiques mathématiques impliquent un calcul de base. Ces calculs peuvent être utilisés pour trouver la moyenne, la variance et l’asymétrie d’une distribution de probabilité.
Supposons que nous ayons un ensemble de données avec un total de n points discrets. Un calcul important, qui est en fait plusieurs nombres, est appelé le moment de qqch. Le moment de qqch. de l’ensemble de données avec les valeurs x1, x2, x3, … xn est donné par la formule :
(x1s + x2s + x3s + … + xns)/n
L’utilisation de cette formule nous oblige à faire attention à l’ordre de nos opérations. Nous devons d’abord faire les exposants, additionner, puis diviser cette somme par n le nombre total de valeurs des données.
Note sur le terme « Moment
Le terme « moment » a été emprunté à la physique. En physique, le moment d’un système de masses ponctuelles est calculé avec une formule identique à celle ci-dessus, et cette formule est utilisée pour trouver le centre de masse des points. En statistique, les valeurs ne sont plus des masses, mais comme nous le verrons, les moments en statistique mesurent toujours quelque chose par rapport au centre des valeurs.
Premier moment
Pour la première fois, nous fixons s = 1. La formule pour le premier moment est donc :
(x1x2 + x3 + … + xn)/n
Cette formule est identique à celle de la moyenne de l’échantillon.
Le premier moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Second Moment
Pour le deuxième moment, nous avons fixé s = 2. La formule pour le second moment est :
(x12 + x22 + x32 + … + xn2)/n
Le deuxième moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36,5.
Troisième moment
Pour le troisième moment, nous avons fixé s = 3. La formule pour le troisième moment est :
(x13 + x23 + x33 + … + xn3)/n
Le troisième moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Des moments plus élevés peuvent être calculés de la même manière. Il suffit de remplacer s dans la formule ci-dessus par le nombre indiquant le moment souhaité.
Moments de méchanceté
Une idée connexe est celle du moment qqch sur le moyen. Dans ce calcul, nous effectuons les étapes suivantes :
- Tout d’abord, calculez la moyenne des valeurs.
- Ensuite, soustrayez cette moyenne de chaque valeur.
- Ensuite, il faut porter chacune de ces différences à la puissance de qqch.
- Maintenant, additionnez les chiffres de l’étape 3.
- Enfin, divisez cette somme par le nombre de valeurs avec lesquelles nous avons commencé.
La formule pour le moment de qqch sur la moyenne m des valeurs x1, x2, x3, …, xn est donnée par :
ms = ((x1 – m)s + (x2 – m)s + (x3 – m)s + … + (xn – m)s)/n
Premier moment sur le moyen
Le premier moment de la moyenne est toujours égal à zéro, quel que soit l’ensemble de données avec lequel nous travaillons. C’est ce que l’on peut constater dans ce qui suit :
m1 = ((x1 – m) + (x2 – m) + (x3 – m) + … + (xn – m))/n = ((x1+ x2 + x3 + … + xn) – nm)/n = m – m = 0.
Deuxième moment sur la moyenne
Le deuxième moment sur la moyenne est obtenu à partir de la formule ci-dessus par les paramètres = 2 :
m2 = ((x1 – m)2 + (x2 – m)2 + (x3 – m)2 + … + (xn – m)2)/n
Cette formule est équivalente à celle de la variance de l’échantillon.
Par exemple, considérez l’ensemble 1, 3, 6, 10. Nous avons déjà calculé que la moyenne de cet ensemble est de 5. Soustrayez cette valeur de chacune des données pour obtenir les différences de :
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Nous mettons au carré chacune de ces valeurs et nous les additionnons : (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Enfin, nous divisons ce nombre par le nombre de points de données : 46/4 = 11.5
Applications des moments
Comme mentionné ci-dessus, le premier moment est la moyenne et le second moment autour de la moyenne est la variance de l’échantillon. Karl Pearson a introduit l’utilisation du troisième moment autour de la moyenne dans le calcul de l’asymétrie et du quatrième moment autour de la moyenne dans le calcul de l’aplatissement.
