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Une factorielle zéro est une expression mathématique qui désigne le nombre de façons d’organiser un ensemble de données sans valeur, qui est égal à un. En général, la factorielle d’un nombre est une manière abrégée d’écrire une expression de multiplication dans laquelle le nombre est multiplié par chaque nombre inférieur à lui mais supérieur à zéro. 4 ! = 24, par exemple, équivaut à écrire 4 x 3 x 2 x 1 = 24, mais on utilise un point d’exclamation à droite du nombre factoriel (quatre) pour exprimer la même équation.
Ces exemples montrent assez clairement comment calculer la factorielle de tout nombre entier supérieur ou égal à un, mais pourquoi la valeur de zéro est-elle factorielle de un en dépit de la règle mathématique selon laquelle tout ce qui est multiplié par zéro est égal à zéro ?
La définition de la factorielle indique que 0 ! = 1. Cela rend généralement les gens confus la première fois qu’ils voient cette équation, mais nous verrons dans les exemples ci-dessous pourquoi cela a un sens lorsque vous examinez la définition, les permutations et les formules de la factorielle zéro.
La définition d’un facteur zéro
La première raison pour laquelle le zéro factoriel est égal à un est que c’est ce que la définition dit qu’il devrait être, ce qui est une explication mathématiquement correcte (si elle est quelque peu insatisfaisante). Néanmoins, il faut se rappeler que la définition d’une factorielle est le produit de tous les entiers dont la valeur est égale ou inférieure au nombre original – en d’autres termes, une factorielle est le nombre de combinaisons possibles avec des nombres inférieurs ou égaux à ce nombre.
Comme le zéro n’a pas de chiffre inférieur à lui, mais qu’il reste un chiffre en soi, il n’y a qu’une seule combinaison possible de la manière dont cet ensemble de données peut être organisé : il ne peut pas. Cela compte quand même comme une façon de l’organiser, donc par définition, un zéro factoriel est égal à un, tout comme 1 ! est égal à un parce qu’il n’y a qu’une seule organisation possible de cet ensemble de données.
Pour mieux comprendre comment cela a un sens mathématique, il est important de noter que les factoriels comme ceux-ci sont utilisés pour déterminer les ordres possibles d’informations dans une séquence, également connue sous le nom de permutations, ce qui peut être utile pour comprendre que même s’il n’y a pas de valeurs dans un ensemble vide ou nul, il y a toujours une façon d’organiser cet ensemble.
Permutations et facteurs
Une permutation est un ordre spécifique et unique d’éléments dans un ensemble. Par exemple, il existe six permutations de l’ensemble {1, 2, 3}, qui contient trois éléments, puisque nous pouvons écrire ces éléments de six façons différentes :
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Nous pourrions également affirmer ce fait par l’équation 3 ! = 6, qui est une représentation factorielle de l’ensemble des permutations. De la même manière, il y a 4 ! = 24 permutations d’un ensemble de quatre éléments et 5 ! = 120 permutations d’un ensemble de cinq éléments. Une autre façon d’envisager la représentation factorielle consiste à laisser n être un nombre naturel et à dire que n ! est le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments.
Avec cette façon de penser le factoriel, regardons quelques exemples supplémentaires. Un ensemble de deux éléments a deux permutations : {a, b} peut être arrangé comme a, b ou comme b, a. Cela correspond à 2 ! = 2. Un ensemble avec un élément a une seule permutation, car l’élément 1 dans l’ensemble {1} ne peut être ordonné que d’une seule manière.
Cela nous amène au facteur zéro. L’ensemble à éléments zéro est appelé l’ensemble vide. Pour trouver la valeur de la factorielle zéro, nous nous demandons : « De combien de façons pouvons-nous ordonner un ensemble sans éléments ? » Ici, nous devons élargir un peu notre réflexion. Même s’il n’y a rien à mettre dans un ordre, il y a une façon de le faire. Ainsi, nous avons 0 ! = 1.
Formules et autres validations
Une autre raison de la définition de 0 ! = 1 a trait aux formules que nous utilisons pour les permutations et les combinaisons. Cela n’explique pas pourquoi le zéro factoriel est un, mais cela montre pourquoi la définition de 0 ! = 1 est une bonne idée.
Une combinaison est un regroupement d’éléments d’un ensemble sans égard à l’ordre. Par exemple, considérons l’ensemble {1, 2, 3}, où il y a une combinaison composée des trois éléments. Quelle que soit la façon dont on dispose ces éléments, on obtient la même combinaison.
Nous utilisons la formule pour les combinaisons avec la combinaison de trois éléments pris trois à la fois et nous voyons que 1 = C (3, 3) = 3!/(3 ! 0 !), et si nous traitons 0 ! comme une quantité inconnue et résolvons algébriquement, nous voyons que 3 ! 0 ! = 3 ! et donc 0 ! = 1.
Il y a d’autres raisons pour lesquelles la définition de 0 ! = 1 est correcte, mais les raisons ci-dessus sont les plus simples. L’idée générale en mathématiques est que lorsque de nouvelles idées et définitions sont construites, elles restent cohérentes avec les autres mathématiques, et c’est exactement ce que nous voyons dans la définition de zéro factoriel est égal à un.
