Probabilité conditionnelle : Notation et exemples

Un exemple simple de probabilité conditionnelle est la probabilité qu’une carte tirée d’un jeu de cartes standard soit un roi. Il y a un total de quatre rois sur 52 cartes, et la probabilité est donc simplement de 4/52. La question suivante est liée à ce calcul : « Quelle est la probabilité que nous tirions un roi étant donné que nous avons déjà tiré une carte du jeu et que c’est un as ? Nous considérons ici le contenu du jeu de cartes. Il y a encore quatre rois, mais il n’y a plus que 51 cartes dans le jeu. La probabilité de tirer un roi étant donné qu’un as a déjà été tiré est de 4/51.

La probabilité conditionnelle est définie comme la probabilité d’un événement étant donné qu’un autre événement s’est produit. Si l’on nomme ces événements A et B, on peut alors parler de la probabilité de A par rapport à B. On peut également parler de la probabilité de A dépendant de B.

Notation

La notation de la probabilité conditionnelle varie d’un manuel à l’autre. Dans toutes les notations, l’indication est que la probabilité à laquelle nous nous référons dépend d’un autre événement. L’une des notations les plus courantes pour la probabilité d’un B donné est P( A | B ). Une autre notation utilisée est PB( A ).

Formule

Il existe une formule de probabilité conditionnelle qui relie celle-ci à la probabilité de A et B :

P( A | B ) = P( A ∩ B ) / P( B )

Cette formule signifie essentiellement que pour calculer la probabilité conditionnelle de l’événement A par rapport à l’événement B, nous modifions notre espace d’échantillonnage pour ne considérer que l’ensemble B. Ce faisant, nous ne considérons pas la totalité de l’événement A, mais seulement la partie de A qui est également contenue dans B. L’ensemble que nous venons de décrire peut être identifié en termes plus familiers comme l’intersection de A et B.

Nous pouvons utiliser l’algèbre pour exprimer la formule ci-dessus d’une manière différente :

P( A ∩ B ) = P( A | B ) P( B )

Exemple

Nous reviendrons sur l’exemple de départ à la lumière de ces informations. Nous voulons connaître la probabilité de tirer un roi étant donné qu’un as a déjà été tiré. Ainsi, l’événement A est que nous tirons un roi. L’événement B est que nous tirons un as.

La probabilité que les deux événements se produisent et que nous dessinions un as puis un roi correspond à P( A ∩ B ). La valeur de cette probabilité est de 12/2652. La probabilité que l’événement B, c’est-à-dire que nous tirions un as, soit 4/52. Nous utilisons donc la formule de probabilité conditionnelle et nous voyons que la probabilité de tirer un roi donné qu’un as a été tiré est (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Autre exemple

Pour un autre exemple, nous examinerons l’expérience de probabilité où l’on lance deux dés. Une question que nous pourrions poser est la suivante : « Quelle est la probabilité que nous ayons obtenu un trois, étant donné que nous avons obtenu une somme inférieure à six ?

Ici, l’événement A est que nous avons obtenu un trois, et l’événement B est que nous avons obtenu une somme inférieure à six. Il y a au total 36 façons de lancer deux dés. Sur ces 36 façons, nous pouvons lancer une somme inférieure à six de dix façons :

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Événements indépendants

Dans certains cas, la probabilité conditionnelle de A pour l’événement B est égale à la probabilité de A. Dans cette situation, nous disons que les événements A et B sont indépendants l’un de l’autre. La formule ci-dessus devient :

P( A | B ) = P( A ) = P( A ∩ B ) / P( B ),

et nous récupérons la formule selon laquelle, pour les événements indépendants, la probabilité de A et de B est trouvée en multipliant les probabilités de chacun de ces événements :

P( A ∩ B ) = P( B ) P( A )

Lorsque deux événements sont indépendants, cela signifie qu’un événement n’a aucun effet sur l’autre. Tirer à pile ou face, puis à une autre pièce, est un exemple d’événements indépendants. Un tirage à pile ou face n’a aucun effet sur l’autre.

Mises en garde

Soyez très attentif à identifier quel événement dépend de l’autre. En général, P( A | B) n’est pas égal à P( B | A). C’est-à-dire que la probabilité de A étant donné l’événement B n’est pas la même que la probabilité de B étant donné l’événement A.

Dans un exemple ci-dessus, nous avons vu qu’en lançant deux dés, la probabilité de lancer un trois, étant donné que nous avons obtenu une somme inférieure à six, était de 4/10. D’autre part, quelle est la probabilité de lancer une somme inférieure à six étant donné que nous avons obtenu un trois ? La probabilité de lancer un trois et une somme inférieure à six est de 4/36. La probabilité d’obtenir au moins un trois est de 11/36. La probabilité conditionnelle dans ce cas est donc (4/36) / (11/36) = 4/11.