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La théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’ensemble des entiers. Nous nous limitons quelque peu en faisant cela car nous n’étudions pas directement d’autres nombres, comme les irrationnels. Cependant, d’autres types de nombres réels sont utilisés. En outre, le sujet de la probabilité a de nombreux liens et intersections avec la théorie des nombres. L’un de ces liens a trait à la distribution des nombres premiers. Plus précisément, on peut se demander quelle est la probabilité qu’un entier choisi au hasard de 1 à x soit un nombre premier ?
Hypothèses et définitions
Comme pour tout problème mathématique, il est important de comprendre non seulement les hypothèses formulées, mais aussi les définitions de tous les termes clés du problème. Pour ce problème, nous considérons les nombres entiers positifs, c’est-à-dire les nombres entiers 1, 2, 3, … jusqu’à un certain nombre x. Nous choisissons au hasard un de ces nombres, ce qui signifie que tous les x ont la même probabilité d’être choisis.
Nous essayons de déterminer la probabilité qu’un nombre premier soit choisi. Nous devons donc comprendre la définition d’un nombre premier. Un nombre premier est un nombre entier positif qui a exactement deux facteurs. Cela signifie que les seuls diviseurs des nombres premiers sont un et le nombre lui-même. Ainsi, 2,3 et 5 sont des nombres premiers, mais 4, 8 et 12 ne sont pas des nombres premiers. Nous constatons que, comme il doit y avoir deux facteurs dans un nombre premier, le nombre 1 n’est pas premier.
Solution pour les petits nombres
La solution à ce problème est simple pour les nombres faibles x. Il suffit de compter le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. On divise le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x par le nombre x.
Par exemple, pour trouver la probabilité qu’un nombre premier soit sélectionné de 1 à 10, il faut diviser le nombre de nombres premiers de 1 à 10 par 10. Les nombres 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers, donc la probabilité qu’un nombre premier soit sélectionné est de 4/10 = 40%.
La probabilité qu’un nombre premier soit choisi entre 1 et 50 peut être trouvée de la même manière. Les nombres premiers qui sont inférieurs à 50 le sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Il existe 15 nombres premiers inférieurs ou égaux à 50. La probabilité qu’un nombre premier soit choisi au hasard est donc de 15/50 = 30%.
Ce processus peut être réalisé en comptant simplement les nombres premiers, pour autant que nous disposions d’une liste de nombres premiers. Par exemple, il y a 25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100. (Ainsi, la probabilité qu’un nombre choisi au hasard de 1 à 100 soit premier est de 25/100 = 25 %). Cependant, si nous n’avons pas de liste de nombres premiers, il pourrait être difficile, du point de vue du calcul, de déterminer l’ensemble des nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à un nombre x donné.
Le théorème du nombre premier
Si vous ne disposez pas d’un décompte du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, il existe une autre façon de résoudre ce problème. La solution implique un résultat mathématique connu sous le nom de théorème des nombres premiers. Il s’agit d’une déclaration sur la distribution globale des nombres premiers et peut être utilisé pour estimer la probabilité que nous essayons de déterminer.
Le théorème des nombres premiers stipule qu’il y a approximativement x / ln(x) nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à x. Ici ln(x) désigne le logarithme naturel de x, ou en d’autres termes le logarithme avec une base du nombre e. Plus la valeur de x augmente, plus l’approximation s’améliore, dans le sens où nous voyons une diminution de l’erreur relative entre le nombre de nombres premiers inférieurs à x et l’expression x / ln(x).
Application du théorème des nombres premiers
Nous pouvons utiliser le résultat du théorème des nombres premiers pour résoudre le problème que nous essayons de résoudre. Nous savons par le théorème des nombres premiers qu’il existe environ x / ln(x) nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à x. En outre, il existe un total de x entiers positifs inférieurs ou égaux à x. Par conséquent, la probabilité qu’un nombre choisi au hasard dans cette plage soit premier est (x / ln(x) ) /x = 1 / ln(x).
Exemple
Nous pouvons maintenant utiliser ce résultat pour estimer la probabilité de sélectionner aléatoirement un nombre premier parmi le premier milliard d’entiers. Nous calculons le logarithme naturel d’un milliard et voyons que ln(1 000 000 000) est approximativement 20,7 et 1/ln(1 000 000 000) est approximativement 0,0483. Nous avons donc une probabilité d’environ 4,83 % de choisir au hasard un nombre premier parmi le premier milliard d’entiers.
