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Le Yahtzee est un jeu de dés qui utilise cinq dés standard à six faces. À chaque tour, les joueurs ont droit à trois jets de dés pour obtenir plusieurs objectifs différents. Après chaque lancer, un joueur peut décider quels dés (le cas échéant) doivent être conservés et lesquels doivent être relancés. Les objectifs comprennent une variété de combinaisons différentes, dont beaucoup sont tirées du poker. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.
Deux des types de combinaisons que les joueurs doivent lancer sont appelés des quintes : une petite quinte et une grande quinte. Comme les quintes au poker, ces combinaisons consistent en des dés successifs. Les petites quintes utilisent quatre des cinq dés et les grandes quintes utilisent les cinq dés. En raison du caractère aléatoire du lancement des dés, la probabilité peut être utilisée pour analyser la probabilité de lancer une grande suite en un seul coup.
Hypothèses
Nous partons du principe que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Il existe donc un espace d’échantillonnage uniforme constitué de tous les jets possibles des cinq dés. Bien que le Yahtzee permette de faire trois lancers, pour des raisons de simplicité, nous ne considérerons que le cas où nous obtenons une grande suite en un seul lancer.
Exemple d’espace
Comme nous travaillons avec un espace d’échantillonnage uniforme, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d’une droite est le nombre de façons de la faire rouler, divisé par le nombre de résultats dans l’espace d’échantillonnage.
Il est très facile de compter le nombre de résultats dans l’espace de l’échantillon. Nous lançons cinq dés et chacun de ces dés peut avoir l’un des six résultats différents. Une application de base du principe de multiplication nous indique que l’espace d’échantillonnage a 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 résultats. Ce nombre sera le dénominateur de toutes les fractions que nous utilisons pour nos probabilités.
Nombre d’actions
Ensuite, nous devons savoir de combien de façons il est possible de rouler une grande ligne droite. Cela est plus difficile que de calculer la taille de l’espace d’échantillonnage. La raison pour laquelle cela est plus difficile est qu’il y a plus de subtilité dans la façon dont nous comptons.
Une grande ligne droite est plus difficile à rouler qu’une petite ligne droite, mais il est plus facile de compter le nombre de façons de rouler une grande ligne droite que le nombre de façons de rouler une petite ligne droite. Ce type de ligne droite est constitué de cinq nombres séquentiels. Comme il n’y a que six numéros différents sur les dés, il n’y a que deux grandes lignes droites possibles : {1, 2, 3, 4, 5} et {2, 3, 4, 5, 6}.
Maintenant, nous déterminons le nombre de façons de lancer un ensemble de dés qui nous donne une quinte. Pour une grande suite avec les dés {1, 2, 3, 4, 5}, nous pouvons avoir les dés dans n’importe quel ordre. Voici donc les différentes façons de lancer la même suite :
- 1, 2, 3, 4, 5
- 5, 4, 3, 2, 1
- 1, 3, 5, 2, 4
Il serait fastidieux d’énumérer toutes les façons possibles d’obtenir un 1, 2, 3, 4 et 5. Comme il nous suffit de savoir combien de façons il y a de le faire, nous pouvons utiliser quelques techniques de comptage de base. Nous constatons que tout ce que nous faisons est de permuter les cinq dés. Il y a 5 ! = 120 façons de le faire. Puisqu’il y a deux combinaisons de dés pour former une grande ligne droite et 120 façons de lancer chacune d’entre elles, il y a 2 x 120 = 240 façons de lancer une grande ligne droite.
Probabilité
Maintenant, la probabilité de rouler une grande droite est un simple calcul de division. Comme il y a 240 façons de lancer une grande droite en un seul jet et qu’il y a 7776 jets de cinq dés possibles, la probabilité de lancer une grande droite est de 240/7776, ce qui est proche de 1/32 et 3,1%.
Bien sûr, il est plus que probable que le premier jet ne soit pas une ligne droite. Si c’est le cas, nous avons droit à deux autres rouleaux, ce qui rend une ligne droite beaucoup plus probable. Cette probabilité est beaucoup plus compliquée à déterminer en raison de toutes les situations possibles qu’il faudrait envisager.
