Probabilité d’une petite quinte au Yahtzee en un seul coup

Le Yahtzee est un jeu de dés qui utilise cinq dés standard à six faces. À chaque tour, les joueurs ont droit à trois jets de dés pour obtenir plusieurs objectifs différents. Après chaque lancer, un joueur peut décider quels dés (le cas échéant) doivent être conservés et lesquels doivent être relancés. Les objectifs comprennent une variété de combinaisons différentes, dont beaucoup sont tirées du poker. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.

Deux des types de combinaisons que les joueurs doivent lancer sont appelés des quintes : une petite quinte et une grande quinte. Comme les quintes au poker, ces combinaisons consistent en des dés successifs. Les petites quintes utilisent quatre des cinq dés et les grandes quintes utilisent les cinq dés. En raison du caractère aléatoire du lancement des dés, la probabilité peut être utilisée pour analyser la probabilité de lancer une petite suite en un seul coup.

Hypothèses

Nous partons du principe que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Il existe donc un espace d’échantillonnage uniforme constitué de tous les jets possibles des cinq dés. Bien que le Yahtzee permette trois lancers, pour des raisons de simplicité, nous ne considérerons que le cas où nous obtenons une petite suite en un seul lancer.

Exemple d’espace

Comme nous travaillons avec un espace d’échantillonnage uniforme, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d’une petite droite est le nombre de façons de faire rouler une petite droite, divisé par le nombre de résultats dans l’espace d’échantillonnage.

Il est très facile de compter le nombre de résultats dans l’espace de l’échantillon. Nous lançons cinq dés et chacun de ces dés peut avoir l’un des six résultats différents. Une application de base du principe de multiplication nous indique que l’espace d’échantillonnage a 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 résultats. Ce nombre sera le dénominateur des fractions que nous utilisons pour notre probabilité.

Nombre d’actions

Ensuite, nous devons savoir de combien de façons il existe pour rouler une petite ligne droite. C’est plus difficile que de calculer la taille de l’espace de l’échantillon. Nous commençons par compter combien de droites sont possibles.

Une petite ligne droite est plus facile à rouler qu’une grande ligne droite, mais il est plus difficile de compter le nombre de façons de rouler ce type de ligne droite. Une petite ligne droite est composée d’exactement quatre nombres séquentiels. Comme il y a six faces différentes du dé, il y a trois petites droites possibles : {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} et {3, 4, 5, 6}. La difficulté réside dans le fait de considérer ce qui se passe avec le cinquième dé. Dans chacun de ces cas, le cinquième dé doit être un nombre qui ne crée pas une grande suite. Par exemple, si les quatre premiers dés étaient 1, 2, 3 et 4, le cinquième dé pourrait être autre chose que 5. Si le cinquième dé était un 5, alors nous aurions une grande suite plutôt qu’une petite.

Cela signifie qu’il y a cinq rouleaux possibles qui donnent la petite droite {1, 2, 3, 4}, cinq rouleaux possibles qui donnent la petite droite {3, 4, 5, 6} et quatre rouleaux possibles qui donnent la petite droite {2, 3, 4, 5}. Ce dernier cas est différent car un 1 ou un 6 pour le cinquième dé transforme {2, 3, 4, 5} en une grande droite. Cela signifie qu’il y a 14 façons différentes dont cinq dés peuvent nous donner une petite suite.

Maintenant, nous déterminons le nombre de façons de lancer un ensemble de dés qui nous donne une quinte. Comme il nous suffit de savoir combien de façons il y a de le faire, nous pouvons utiliser quelques techniques de comptage de base.

Sur les 14 façons distinctes d’obtenir des petites droites, seules deux d’entre elles {1,2,3,4,6} et {1,3,4,5,6} sont des ensembles avec des éléments distincts. Il y a 5 ! = 120 façons de rouler chacune pour un total de 2 x 5 ! = 240 petites droites.

Les 12 autres façons d’avoir une petite droite sont techniquement des multisets car elles contiennent toutes un élément répété. Pour un multi-ensemble particulier, tel que [1,1,2,3,4]Nous allons compter le nombre de façons différentes de le faire. Pensez aux dés comme à cinq positions consécutives :

• Il y a C(5,2) = 10 façons de positionner les deux éléments répétés parmi les cinq dés.
• Il y a 3 ! = 6 façons de disposer les trois éléments distincts.

Selon le principe de multiplication, il existe 6 x 10 = 60 façons différentes de lancer les dés 1,1,2,3,4 en un seul coup.

Il y a 60 façons de lancer une petite ligne droite avec ce cinquième dé particulier. Comme il y a 12 multijeux donnant une liste différente de cinq dés, il y a 60 x 12 = 720 façons de lancer une petite suite dans laquelle deux dés correspondent.

Au total, il y en a 2 x 5 ! + 12 x 60 = 960 façons de rouler une petite ligne droite.

Probabilité

Maintenant, la probabilité de rouler une petite droite est un simple calcul de division. Comme il y a 960 façons différentes de lancer une petite ligne droite en un seul jet et qu’il y a 7776 jets de cinq dés possibles, la probabilité de lancer une petite ligne droite est de 960/7776, ce qui est proche de 1/8 et 12,3%.

Bien sûr, il est plus que probable que le premier jet ne soit pas une ligne droite. Si c’est le cas, nous avons droit à deux autres rouleaux, ce qui rend une petite ligne droite beaucoup plus probable. Cette probabilité est beaucoup plus compliquée à déterminer en raison de toutes les situations possibles qu’il faudrait envisager.