Probabilités de lancer deux dés

Une façon populaire d’étudier la probabilité est de lancer les dés. Un dé standard a six faces imprimées avec des petits points numérotés 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Si le dé est juste (et nous supposerons qu’ils le sont tous), alors chacun de ces résultats est également probable. Comme il y a six résultats possibles, la probabilité d’obtenir n’importe quelle face du dé est de 1/6. La probabilité de lancer un 1 est de 1/6, la probabilité de lancer un 2 est de 1/6, et ainsi de suite. Mais que se passe-t-il si nous ajoutons un autre dé ? Quelles sont les probabilités de lancer deux dés ?

Probabilité de lancer les dés

Pour déterminer correctement la probabilité d’un lancer de dés, nous devons savoir deux choses :

• La taille de l’espace de l’échantillon ou l’ensemble des résultats totaux possibles
• La fréquence d’un événement

En probabilité, un événement est un certain sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage. Par exemple, lorsqu’un seul dé est lancé, comme dans l’exemple ci-dessus, l’espace d’échantillonnage est égal à toutes les valeurs du dé, ou de l’ensemble (1, 2, 3, 4, 5, 6). Comme le dé est juste, chaque chiffre de l’ensemble ne se produit qu’une seule fois. Pour déterminer la probabilité de lancer l’un des nombres sur le dé, nous divisons la fréquence de l’événement (1) par la taille de l’espace d’échantillonnage (6), ce qui donne une probabilité de 1/6.

Lancer deux dés équitables fait plus que doubler la difficulté du calcul des probabilités. En effet, le fait de lancer un dé est indépendant du fait de lancer un deuxième dé. Un lancer n’a aucun effet sur l’autre. Lorsque nous traitons des événements indépendants, nous utilisons la règle de multiplication. L’utilisation d’un diagramme en arbre montre qu’il y a 6 x 6 = 36 résultats possibles en lançant deux dés.

Supposons que le premier dé que nous lançons soit un 1, l’autre un 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Supposons maintenant que le premier dé soit un 2 et que l’autre dé soit un 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Nous avons déjà trouvé 12 résultats possibles, et nous n’avons pas encore épuisé toutes les possibilités du premier dé.

Tableau des probabilités de lancer deux dés

Les résultats possibles du lancement de deux dés sont représentés dans le tableau ci-dessous. Notez que le nombre total de résultats possibles est égal à l’espace d’échantillonnage du premier dé (6) multiplié par l’espace d’échantillonnage du second dé (6), soit 36.

1
2
3
4
5
6

1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)

2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)

3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)

4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)

5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)

6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)

Trois dés ou plus

Le même principe s’applique si nous travaillons sur des problèmes impliquant trois dés. On multiplie et on voit qu’il y a 6 x 6 x 6 = 216 résultats possibles. Comme il devient difficile d’écrire la multiplication répétée, nous pouvons utiliser des exposants pour simplifier le travail. Pour deux dés, il y a 62 résultats possibles. Pour trois dés, il y a 63 résultats possibles. En général, si nous lançons n dés, il y a un total de 6n résultats possibles.

Exemples de problèmes

Grâce à ces connaissances, nous pouvons résoudre toutes sortes de problèmes de probabilité :

1. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à sept ?

La manière la plus simple de résoudre ce problème est de consulter le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que dans chaque rangée, il y a un jet de dés où la somme des deux dés est égale à sept. Comme il y a six rangées, il y a six résultats possibles où la somme des deux dés est égale à sept. Le nombre total de résultats possibles reste de 36. Là encore, nous trouvons la probabilité en divisant la fréquence de l’événement (6) par la taille de l’espace d’échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 1/6.

2. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à trois ?

Dans le problème précédent, vous avez peut-être remarqué que les cellules où la somme des deux dés est égale à sept forment une diagonale. Il en va de même ici, sauf que dans ce cas, il n’y a que deux cases où la somme des dés est égale à trois. C’est parce qu’il n’y a que deux façons d’obtenir ce résultat. Vous devez obtenir un 1 et un 2 ou un 2 et un 1. Les combinaisons pour obtenir une somme de sept sont beaucoup plus grandes (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, etc.). Pour trouver la probabilité que la somme des deux dés soit égale à trois, nous pouvons diviser la fréquence des événements (2) par la taille de l’espace d’échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 1/18.

3. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que les chiffres figurant sur les dés soient différents ?

Là encore, nous pouvons facilement résoudre ce problème en consultant le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que les cases où les chiffres des dés sont identiques forment une diagonale. Il n’y en a que six, et une fois que nous les avons rayées, nous avons les cellules restantes dans lesquelles les chiffres sur les dés sont différents. Nous pouvons prendre le nombre de combinaisons (30) et le diviser par la taille de l’espace d’échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 5/6.