Probabilités de lancer trois dés

Les dés fournissent d’excellentes illustrations pour les concepts de probabilité. Les dés les plus utilisés sont les cubes à six faces. Nous allons voir ici comment calculer les probabilités de lancer trois dés standard. C’est un problème relativement standard de calculer la probabilité de la somme obtenue en lançant deux dés. Il y a au total 36 lancements différents avec deux dés, avec n’importe quelle somme de 2 à 12 possible. Comment le problème change-t-il si nous ajoutons d’autres dés ?

Résultats et sommes possibles

Tout comme un dé a six résultats et deux dés ont 62 = 36 résultats, l’expérience de probabilité de lancer trois dés a 63 = 216 résultats. Cette idée se généralise encore pour d’autres dés. Si nous lançons n dés, il y a 6n résultats.

On peut aussi considérer les sommes possibles en lançant plusieurs dés. La plus petite somme possible se produit lorsque tous les dés sont les plus petits, ou un chacun. Cela donne une somme de trois lorsque nous lançons trois dés. Le nombre le plus grand sur un dé est six, ce qui signifie que la plus grande somme possible se produit lorsque les trois dés sont des six. La somme de cette situation est de 18.

Lorsque l’on lance n dés, la somme la plus petite possible est n et la plus grande possible est 6n.

• Il y a une façon possible pour que trois dés totalisent 3
• 3 voies pour 4
• 6 pour 5
• 10 pour 6
• 15 pour 7
• 21 pour 8
• 25 pour 9
• 27 pour 10
• 27 pour 11
• 25 pour 12
• 21 pour 13
• 15 pour 14
• 10 pour 15
• 6 pour 16
• 3 pour 17
• 1 pour 18

Formation des sommes

Comme nous l’avons vu plus haut, pour trois dés, les sommes possibles comprennent tous les nombres de trois à 18. Les probabilités peuvent être calculées en utilisant des stratégies de comptage et en reconnaissant que nous cherchons des moyens de diviser un nombre en exactement trois nombres entiers. Par exemple, la seule façon d’obtenir une somme de trois est 3 = 1 + 1 + 1. Comme chaque dé est indépendant des autres, une somme telle que quatre peut être obtenue de trois manières différentes :

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

D’autres arguments de comptage peuvent être utilisés pour trouver le nombre de façons de former les autres sommes. Les partitions pour chaque somme suivent :

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Lorsque trois nombres différents forment la partition, comme par exemple 7 = 1 + 2 + 4, il y a 3 ! (3x2x1) différentes façons de permuter ces nombres. Cela compterait donc pour trois résultats dans l’espace de l’échantillon. Lorsque deux nombres différents forment la partition, il y a trois façons différentes de permuter ces nombres.

Probabilités spécifiques

Nous divisons le nombre total de façons d’obtenir chaque somme par le nombre total de résultats dans l’espace de l’échantillon, soit 216. Les résultats sont :

• Probabilité d’une somme de 3 : 1/216 = 0,5%.
• Probabilité d’une somme de 4 : 3/216 = 1,4%.
• Probabilité d’une somme de 5 : 6/216 = 2,8%.
• Probabilité d’une somme de 6 : 10/216 = 4,6%.
• Probabilité d’une somme de 7 : 15/216 = 7,0%.
• Probabilité d’une somme de 8 : 21/216 = 9,7%.
• Probabilité d’une somme de 9 : 25/216 = 11,6%.
• Probabilité d’une somme de 10 : 27/216 = 12,5%.
• Probabilité d’une somme de 11 : 27/216 = 12,5%.
• Probabilité d’une somme de 12 : 25/216 = 11,6%.
• Probabilité d’une somme de 13 : 21/216 = 9,7%.
• Probabilité d’une somme de 14 : 15/216 = 7,0%.
• Probabilité d’une somme de 15 : 10/216 = 4,6%.
• Probabilité d’une somme de 16 : 6/216 = 2,8%.
• Probabilité d’une somme de 17 : 3/216 = 1,4%.
• Probabilité d’une somme de 18 : 1/216 = 0,5%.

Comme on peut le voir, les valeurs extrêmes de 3 et 18 sont les moins probables. Les sommes qui se trouvent exactement au milieu sont les plus probables. Cela correspond à ce qui a été observé lorsque deux dés ont été lancés.