Probabilités de monopole

Le Monopoly est un jeu de société dans lequel les joueurs doivent mettre le capitalisme en action. Les joueurs achètent et vendent des propriétés et se font payer un loyer. Bien qu’il y ait des parties sociales et stratégiques dans le jeu, les joueurs déplacent leurs pièces sur le plateau en lançant deux dés standard à six faces. Comme cela contrôle la façon dont les joueurs se déplacent, le jeu comporte également un aspect de probabilité. En ne connaissant que quelques faits, on peut calculer la probabilité d’atterrir sur certaines cases pendant les deux premiers tours au début du jeu.

Les dés

À chaque tour, un joueur lance deux dés et déplace son pion d’autant de cases sur le plateau. Il est donc utile d’examiner les probabilités de lancer deux dés. En résumé, les sommes suivantes sont possibles :

• Une somme de deux a une probabilité de 1/36.
• Une somme de trois a une probabilité de 2/36.
• Une somme de quatre a une probabilité de 3/36.
• Une somme de cinq a une probabilité de 4/36.
• Une somme de six a une probabilité de 5/36.
• Une somme de sept a une probabilité de 6/36.
• Une somme de huit a une probabilité de 5/36.
• Une somme de neuf a une probabilité de 4/36.
• Une somme de dix a une probabilité de 3/36.
• Une somme de onze a une probabilité de 2/36.
• Une somme de douze a une probabilité de 1/36.

Ces probabilités seront très importantes à mesure que nous poursuivrons.

Le plateau de jeu du Monopoly

Nous devons également prendre note du plateau de jeu du Monopoly. Il y a un total de 40 places autour du plateau de jeu, dont 28 sont des propriétés, des chemins de fer ou des services publics qui peuvent être achetés. Six espaces impliquent de tirer une carte des piles du coffre de la chance ou de la communauté. Trois espaces sont des espaces libres dans lesquels rien ne se passe. Deux cases impliquent de payer des impôts : soit l’impôt sur le revenu, soit la taxe de luxe. Une case envoie le joueur en prison.

Nous n’examinerons que les deux premiers tours d’une partie de Monopoly. Au cours de ces tours, le plus loin que nous puissions faire le tour du plateau est de lancer deux fois douze et de déplacer un total de 24 cases. Nous n’examinerons donc que les 24 premières cases du plateau. Dans l’ordre, ces cases sont :

1. Avenue de la Méditerranée
2. Coffre communautaire
3. Avenue de la Baltique
4. Impôt sur le revenu
5. Le chemin de fer de la lecture
6. Avenue Orientale
7. Chance
8. Avenue Vermont
9. Taxe du Connecticut
10. Juste une visite en prison
11. Place St. James
12. Société d’électricité
13. States Avenue
14. Avenue Virginia
15. Chemin de fer de Pennsylvanie
16. Place St. James
17. Coffre communautaire
18. Avenue Tennessee
19. New York Avenue
20. Stationnement gratuit
21. Avenue Kentucky
22. Chance
23. Avenue Indiana
24. Illinois Avenue

Premier tour

Le premier virage est relativement simple. Comme nous avons des probabilités de lancer deux dés, nous les faisons simplement correspondre aux cases appropriées. Par exemple, le deuxième espace est un carré de la poitrine communautaire et il y a une probabilité de 1/36 de lancer une somme de deux. Il y a donc une probabilité de 1/36 d’atterrir sur le coffre de la communauté au premier tour.

Vous trouverez ci-dessous les probabilités d’atterrir sur les espaces suivants au premier tour :

• Coffre communautaire – 1/36
• Avenue de la Baltique – 2/36
• Impôt sur le revenu – 3/36
• Chemin de fer de la lecture – 4/36
• Avenue Orientale – 5/36
• Chance – 6/36
• Vermont Avenue – 5/36
• Taxe du Connecticut – 4/36
• Juste une visite en prison – 3/36
• Place St. James – 2/36
• Compagnie d’électricité – 1/36

Deuxième tour

Le calcul des probabilités pour le deuxième tour est un peu plus difficile. Nous pouvons obtenir un total de deux sur les deux tours et faire un minimum de quatre cases, ou un total de 12 sur les deux tours et faire un maximum de 24 cases. On peut également atteindre toutes les cases entre quatre et 24. Mais cela peut se faire de différentes manières. Par exemple, nous pourrions déplacer un total de sept cases en déplaçant l’une des combinaisons suivantes :

• Deux espaces au premier tour et cinq espaces au second tour
• Trois espaces au premier tour et quatre espaces au deuxième tour
• Quatre espaces au premier tour et trois espaces au deuxième tour
• Cinq espaces au premier tour et deux espaces au second tour

Nous devons tenir compte de toutes ces possibilités lors du calcul des probabilités. Les lancers de chaque tour sont indépendants du lancer du tour suivant. Nous n’avons donc pas à nous soucier de la probabilité conditionnelle, mais simplement à multiplier chacune des probabilités :

• La probabilité de faire rouler un deux puis un cinq est (1/36) x (4/36) = 4/1296.
• La probabilité de faire rouler un trois puis un quatre est de (2/36) x (3/36) = 6/1296.
• La probabilité de faire rouler un quatre puis un trois est (3/36) x (2/36) = 6/1296.
• La probabilité de faire rouler un cinq puis un deux est (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Règle de l’addition mutuellement exclusive

Les autres probabilités pour deux tours sont calculées de la même manière. Pour chaque cas, il suffit de trouver tous les moyens possibles pour obtenir une somme totale correspondant à la case du plateau de jeu. Vous trouverez ci-dessous les probabilités (arrondies au centième de pour cent le plus proche) d’atterrir sur les cases suivantes au premier tour :

• Impôt sur le revenu – 0,08%.
• Lecture du chemin de fer – 0,31
• Avenue Orientale – 0,77
• Chance – 1,54
• Vermont Avenue – 2,70
• Taxe du Connecticut – 4,32
• Juste une visite en prison – 6,17
• Place St. James – 8,02%.
• Compagnie d’électricité – 9,65
• States Avenue – 10,80
• Avenue Virginia – 11,27%.
• Chemin de fer de Pennsylvanie – 10,80
• Place St. James – 9,65%.
• Coffre communautaire – 8,02
• Avenue Tennessee 6,17%.
• New York Avenue 4,32
• Stationnement gratuit – 2,70
• Kentucky Avenue – 1,54%.
• Chance – 0,77
• Avenue Indiana – 0,31
• Illinois Avenue – 0,08

Plus que trois tours

Pour plus de tours, la situation devient encore plus difficile. L’une des raisons est que, selon les règles du jeu, si nous lançons des doubles trois fois de suite, nous allons en prison. Cette règle va affecter nos probabilités d’une manière que nous n’avions pas à envisager auparavant. En plus de cette règle, il y a des effets de la chance et des cartes de coffre communautaire que nous ne prenons pas en compte. Certaines de ces cartes obligent les joueurs à sauter des cases et à aller directement à des cases particulières.

En raison de la complexité accrue des calculs, il devient plus facile de calculer les probabilités pour plus que quelques tours en utilisant les méthodes de Monte Carlo. Les ordinateurs peuvent simuler des centaines de milliers, voire des millions de parties de Monopoly, et les probabilités d’atterrissage sur chaque espace peuvent être calculées de manière empirique à partir de ces parties.