Probabilités et dés du passif

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De nombreux jeux de hasard peuvent être analysés à l’aide des mathématiques des probabilités. Dans cet article, nous examinerons différents aspects du jeu appelé « Liar’s Dice ». Après avoir décrit ce jeu, nous calculerons les probabilités qui y sont liées.

Une brève description du dé du menteur

Le jeu des dés du menteur est en fait une famille de jeux impliquant le bluff et la tromperie. Il existe plusieurs variantes de ce jeu, qui portent plusieurs noms différents, tels que Pirate’s Dice, Deception et Dudo. Une version de ce jeu a été présentée dans le film Pirates des Caraïbes : la poitrine de l’homme mort.

Dans la version du jeu que nous allons examiner, chaque joueur a un gobelet et un jeu du même nombre de dés. Les dés sont des dés standard à six faces qui sont numérotés de un à six. Chacun lance ses dés, en les maintenant couverts par le gobelet. Au moment opportun, un joueur regarde son jeu de dés, en le gardant caché de tous les autres. Le jeu est conçu de manière à ce que chaque joueur ait une connaissance parfaite de son propre jeu de dés, mais n’ait aucune connaissance des autres dés qui ont été lancés.

Après que tout le monde a eu l’occasion de regarder les dés qui ont été lancés, les enchères commencent. À chaque tour, un joueur a deux choix : faire une offre plus élevée ou qualifier l’offre précédente de mensonge. Il peut faire une offre plus élevée en proposant une valeur de dés plus élevée, de un à six, ou en proposant un nombre plus important de dés de même valeur.

Par exemple, une offre de « Trois deux » pourrait être augmentée en indiquant « Quatre deux ». Elle pourrait également être augmentée en disant « Trois trois ». En général, ni le nombre de dés ni les valeurs des dés ne peuvent diminuer.

Comme la plupart des dés sont cachés à la vue, il est important de savoir comment calculer certaines probabilités. En sachant cela, il est plus facile de voir quelles offres sont susceptibles d’être vraies, et quelles autres sont susceptibles d’être fausses.

A lire : Valeur attendue d'une distribution binomiale

Valeur escomptée

La première chose à faire est de se demander : « Combien de dés du même type attendons-nous ? Par exemple, si nous lançons cinq dés, combien de ces dés devraient être un deux ? La réponse à cette question utilise l’idée de valeur attendue.

La valeur attendue d’une variable aléatoire est la probabilité d’une valeur particulière, multipliée par cette valeur.

La probabilité que le premier décès soit un deux est de 1/6. Comme les dés sont indépendants les uns des autres, la probabilité que l’un d’entre eux soit un deux est de 1/6. Cela signifie que le nombre attendu de deux lancés est 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Bien sûr, le résultat de deux n’a rien de particulier. Il n’y a rien de spécial non plus dans le nombre de dés que nous avons pris en compte. Si nous avons lancé n dés, alors le nombre attendu de l’un des six résultats possibles est n/6. Ce nombre est bon à savoir car il nous donne une base de référence à utiliser lorsque nous remettons en question les offres faites par d’autres.

Par exemple, si nous jouons aux dés du menteur avec six dés, la valeur attendue de l’une des valeurs 1 à 6 est 6/6 = 1. Cela signifie que nous devons être sceptiques si quelqu’un fait plus d’une offre de n’importe quelle valeur. À long terme, nous ferions la moyenne d’une de chacune des valeurs possibles.

Exemple de roulement exact

Supposons que nous lancions cinq dés et que nous voulions trouver la probabilité de lancer deux trois. La probabilité qu’un dé soit un trois est de 1/6. La probabilité qu’un dé ne soit pas un trois est de 5/6. Les jets de ces dés sont des événements indépendants, et nous multiplions donc les probabilités ensemble en utilisant la règle de multiplication.

A lire : Exemple d'intervalle de confiance pour la variance

La probabilité que les deux premiers dés soient des trois et que les autres dés ne soient pas des trois est donnée par le produit suivant :

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Le fait que les deux premiers dés soient des trois n’est qu’une possibilité. Les dés qui sont des trois pourraient être n’importe lesquels des cinq dés que nous lançons. Nous indiquons un dé qui n’est pas un trois par un *. Voici les différentes façons d’obtenir deux trois sur cinq :

3, 3, * , * ,*
3, * , 3, * ,*
3, * , * ,3 ,*
3, * , * , *, 3
*, 3, 3, * , *
*, 3, *, 3, *
*, 3, * , *, 3
*, *, 3, 3, *
*, *, 3, *, 3
*, *, *, 3, 3

Nous voyons qu’il y a dix façons de lancer exactement deux trois sur cinq dés.

Nous multiplions maintenant notre probabilité ci-dessus par les 10 façons dont nous pouvons avoir cette configuration de dés. Le résultat est 10 x(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Cela représente environ 16 %.

Cas général

Nous généralisons maintenant l’exemple ci-dessus. Nous considérons la probabilité de lancer n dés et d’obtenir exactement k qui sont d’une certaine valeur.

Tout comme auparavant, la probabilité de faire rouler le nombre que nous voulons est de 1/6. La probabilité de ne pas faire rouler ce nombre est donnée par la règle du complément comme étant de 5/6. Nous voulons que k de nos dés soit le nombre choisi. Cela signifie que n – k sont un nombre autre que celui que nous voulons. La probabilité que les k premiers dés soient un certain nombre avec les autres dés, et non ce nombre est :

(1/6)k(5/6)n – k

Il serait fastidieux, sans parler du temps qu’il faudrait y consacrer, d’énumérer toutes les façons possibles de lancer une configuration particulière de dés. C’est pourquoi il est préférable d’utiliser nos principes de comptage. Grâce à ces stratégies, nous constatons que nous comptons des combinaisons.

A lire : Comment les chances sont liées à la probabilité

Il existe des moyens C(n, k) de lancer k d’un certain type de dés sur n dés. Ce nombre est donné par la formule n!/(k !(n – k) !)

Si l’on met tout cela ensemble, on constate que lorsque l’on lance n dés, la probabilité qu’exactement k d’entre eux soient un nombre particulier est donnée par la formule :

[n!/(k!(n – k)!)] (1/6)k(5/6)n – k

Il existe une autre façon d’envisager ce type de problème. Il s’agit de la distribution binomiale avec une probabilité de succès donnée par p = 1/6. La formule pour qu’exactement k de ces dés soit un certain nombre est connue sous le nom de fonction de masse de probabilité pour la distribution binomiale.

Probabilité d’au moins

Une autre situation que nous devrions considérer est la probabilité de rouler au moins un certain nombre d’une valeur particulière. Par exemple, lorsque nous lançons cinq dés, quelle est la probabilité de lancer au moins trois un ? Nous pourrions lancer trois un, quatre un ou cinq un. Pour déterminer la probabilité que nous voulons trouver, nous additionnons trois probabilités.

Tableau des probabilités

Nous avons ci-dessous un tableau de probabilités pour obtenir exactement k d’une certaine valeur lorsque nous lançons cinq dés.

Nombre de dés k
Probabilité de lancer exactement k dés d’un nombre particulier

0
0.401877572

1
0.401877572

2
0.160751029

3
0.032150206

4
0.003215021

5
0.000128601

Ensuite, nous considérons le tableau suivant. Il donne la probabilité de lancer au moins un certain nombre d’une valeur lorsque nous lançons un total de cinq dés. Nous voyons que bien qu’il soit très probable de lancer au moins un 2, il n’est pas aussi probable de lancer au moins quatre 2.

Nombre de dés k
Probabilité de lancer au moins k dés d’un nombre particulier

0
1

1
0.598122428

2
0.196244856

3
0.035493827

4
0.00334362