Quel est le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?

Vous êtes dans les rues de Saint-Pétersbourg, en Russie, et un vieil homme vous propose le jeu suivant. Il tire à pile ou face (et vous empruntera l’un des vôtres si vous n’êtes pas sûr que le sien est juste). S’il atterrit à pile ou face, vous perdez et la partie est terminée. Si la pièce tombe face, vous gagnez un rouble et le jeu continue. La pièce est relancée. Si elle tombe à pile, le jeu se termine. Si la pièce tombe face, vous gagnez deux roubles supplémentaires. Le jeu continue de cette façon. Pour chaque tête successive, nous doublons nos gains du tour précédent, mais au signe de la première queue, le jeu est terminé.

Combien paieriez-vous pour jouer à ce jeu ? Lorsque nous considérons la valeur attendue de ce jeu, vous devez sauter sur l’occasion, quel que soit le coût de la partie. Cependant, d’après la description ci-dessus, vous ne seriez probablement pas prêt à payer beaucoup. Après tout, il y a 50 % de chances de ne rien gagner. C’est ce que l’on appelle le Paradoxe de Saint-Pétersbourg, nommé ainsi en raison de la publication en 1738 des Commentaires de Daniel Bernoulli de l’Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg.

Quelques probabilités

Commençons par calculer les probabilités associées à ce jeu. La probabilité qu’une pièce de monnaie équitable atterisse tête haute est de 1/2. Chaque tirage au sort est un événement indépendant et nous multiplions donc les probabilités, éventuellement à l’aide d’un diagramme en arbre.

• La probabilité d’avoir deux têtes de suite est (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• La probabilité d’avoir trois têtes de suite est (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Pour exprimer la probabilité de n têtes dans une rangée, où n est un nombre entier positif, nous utilisons des exposants pour écrire 1/2n.

Certains paiements

Passons maintenant à la suite et voyons si nous pouvons généraliser ce que seraient les gains à chaque tour.

• Si vous avez une tête au premier tour, vous gagnez un rouble pour ce tour.
• S’il y a une tête au deuxième tour, vous gagnez deux roubles à ce tour.
• S’il y a une tête au troisième tour, alors vous gagnez quatre roubles à ce tour.
• Si vous avez eu la chance de vous rendre jusqu’au nième tour, vous gagnerez 2n-1 roubles à ce tour.

Valeur attendue du jeu

La valeur attendue d’un jeu nous indique la moyenne des gains si vous y jouez plusieurs fois. Pour calculer la valeur escomptée, nous multiplions la valeur des gains de chaque tour par la probabilité d’arriver à ce tour, puis nous additionnons tous ces produits.

• Dès le premier tour, vous avez une probabilité de 1/2 et des gains de 1 rouble : 1/2 x 1 = 1/2
• A partir du deuxième tour, vous avez une probabilité de 1/4 et des gains de 2 roubles : 1/4 x 2 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité de 1/8 et des gains de 4 roubles : 1/8 x 4 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité de 1/16 et des gains de 8 roubles : 1/16 x 8 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité de 1/2n et des gains de 2n-1 roubles : 1/2n x 2n-1 = 1/2

La valeur de chaque tour est de 1/2, et en additionnant les résultats des n premiers tours, on obtient une valeur attendue de n/2 roubles. Comme n peut être n’importe quel nombre entier positif, la valeur attendue est illimitée.

Le paradoxe

Que devez-vous payer pour jouer ? Un rouble, mille roubles ou même un milliard de roubles seraient tous, à long terme, inférieurs à la valeur attendue. Malgré les calculs ci-dessus qui promettent des richesses incalculables, nous hésiterions tous à payer beaucoup pour jouer.

Il existe de nombreuses façons de résoudre ce paradoxe. L’un des moyens les plus simples est que personne ne propose un jeu tel que celui décrit ci-dessus. Personne n’a les ressources infinies qu’il faudrait pour payer quelqu’un qui continue à faire volte-face.

Une autre façon de résoudre le paradoxe consiste à souligner combien il est improbable d’obtenir quelque chose comme 20 têtes d’affilée. Les chances que cela se produise sont meilleures que de gagner à la plupart des loteries d’État. Les gens jouent régulièrement à ces loteries pour cinq dollars ou moins. Le prix à payer pour jouer au jeu de Saint-Pétersbourg ne devrait donc pas dépasser quelques dollars.

Si l’homme de Saint-Pétersbourg vous dit qu’il vous en coûtera plus que quelques roubles pour jouer son jeu, vous devriez poliment refuser et partir. Les roubles ne valent pas grand-chose de toute façon.