Contents
Si vous regardez un film qui implique le poker, il semble que ce ne soit qu’une question de temps avant qu’une quinte flush royale ne fasse son apparition. Il s’agit d’une main de poker qui a une composition très spécifique : le dix, le valet, la dame, le roi et l’as, tous de la même couleur. Généralement, le héros du film reçoit cette main et elle est révélée de façon dramatique. Une quinte flush royale est la main la plus élevée dans le jeu de cartes du poker. En raison des caractéristiques de cette main, il est très difficile de recevoir une quinte flush royale.
Hypothèses de base et probabilités
Il existe une multitude de façons différentes de jouer au poker. Pour nos besoins, nous supposerons qu’un joueur reçoit cinq cartes d’un jeu standard de 52 cartes. Aucune carte n’est un joker, et le joueur conserve toutes les cartes qui lui sont distribuées.
Pour calculer la probabilité de recevoir une quinte flush royale, nous devons connaître deux chiffres :
- Le nombre total de mains de poker possibles
- Le nombre total de façons dont une quinte flush royale peut être traitée.
Une fois que nous connaissons ces deux chiffres, la probabilité de recevoir une quinte flush royale est un simple calcul. Il suffit de diviser le deuxième chiffre par le premier.
Nombre de mains de poker
Certaines des techniques de combinatoire, ou l’étude du comptage, peuvent être appliquées pour calculer le nombre total de mains de poker. Il est important de noter que l’ordre dans lequel les cartes nous sont distribuées n’a pas d’importance. Puisque l’ordre n’a pas d’importance, cela signifie que chaque main est une combinaison de cinq cartes sur un total de 52. Nous utilisons la formule pour les combinaisons et nous voyons qu’il y a un nombre total de C( 52, 5 ) = 2 598 960 mains distinctes possibles.
Chasse d’eau royale
Une quinte flush royale est une quinte flush. Cela signifie que toutes les cartes doivent être de la même couleur. Il existe plusieurs types de flush. Contrairement à la plupart des flush, dans un flush royal, la valeur des cinq cartes est entièrement spécifiée. Les cartes dans la main doivent être un dix, un valet, une dame, un roi et un as, tous de la même couleur.
Pour une couleur donnée, il n’y a qu’une seule combinaison de cartes avec ces cartes. Comme il y a quatre couleurs de cœur, carreau, trèfle et pique, il n’y a que quatre couleurs royales possibles qui peuvent être distribuées.
La probabilité d’une chasse d’eau royale
Les chiffres ci-dessus montrent déjà qu’il est peu probable qu’une quinte flush royale soit traitée. Sur près de 2,6 millions de mains de poker, seules quatre d’entre elles sont des quintes royales. Ces près de 2,6 mains sont uniformément réparties. En raison du brassage des cartes, chacune de ces mains a une probabilité égale d’être distribuée à un joueur.
La probabilité de recevoir une quinte flush royale est le nombre de quintes flush royales divisé par le nombre total de mains de poker. Nous effectuons maintenant la division et nous constatons qu’une quinte flush royale est vraiment rare. Il y a seulement une probabilité de 4/2 598 960 = 1/649 740 = 0,00015% de recevoir cette main.
Tout comme les très grands nombres, une probabilité aussi faible est difficile à cerner. Une façon de mettre ce chiffre en perspective est de se demander combien de temps il faudrait pour parcourir 649 740 mains de poker. Si l’on vous donnait 20 mains de poker chaque soir de l’année, cela ne représenterait que 7300 mains par an. En 89 ans, vous ne devriez vous attendre qu’à une seule quinte flush royale. Cette main n’est donc pas aussi courante que ce que les films pourraient nous faire croire.
