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Il est important de savoir comment calculer la probabilité d’un événement. Certains types d’événements en probabilité sont dits indépendants. Lorsque nous avons une paire d’événements indépendants, nous pouvons parfois nous demander : « Quelle est la probabilité que ces deux événements se produisent ? Dans cette situation, nous pouvons simplement multiplier nos deux probabilités ensemble.
Nous verrons comment utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants. Après avoir passé en revue les bases, nous verrons les détails de quelques calculs.
Définition des événements indépendants
Nous commençons par une définition des événements indépendants. En probabilité, deux événements sont indépendants si le résultat d’un événement n’influence pas le résultat du second événement.
Un bon exemple d’une paire d’événements indépendants est lorsque nous lançons un dé et que nous tirons à pile ou face. Le chiffre indiqué sur le dé n’a aucun effet sur la pièce qui a été lancée. Ces deux événements sont donc indépendants.
Un exemple de paire d’événements qui ne sont pas indépendants serait le sexe de chaque bébé dans un ensemble de jumeaux. Si les jumeaux sont identiques, alors les deux seront de sexe masculin, ou les deux seront de sexe féminin.
Déclaration de la règle de multiplication
La règle de multiplication pour les événements indépendants met en relation les probabilités de deux événements avec la probabilité qu’ils se produisent tous les deux. Pour utiliser cette règle, nous devons disposer des probabilités de chacun des événements indépendants. Compte tenu de ces événements, la règle de multiplication indique que la probabilité que les deux événements se produisent est trouvée en multipliant les probabilités de chaque événement.
Formule pour la règle de multiplication
La règle de multiplication est beaucoup plus facile à énoncer et à utiliser lorsque nous utilisons la notation mathématique.
Indiquez les événements A et B et les probabilités de chacun par P(A) et P(B). Si A et B sont des événements indépendants, alors :
P(A et B) = P(A) x P(B)
Certaines versions de cette formule utilisent encore plus de symboles. Au lieu du mot « et », nous pouvons utiliser le symbole d’intersection : ∩. Cette formule est parfois utilisée comme définition d’événements indépendants. Les événements sont indépendants si et seulement si P(A et B) = P(A) x P(B).
Exemple n°1 de l’utilisation de la règle de multiplication
Nous verrons comment utiliser la règle de multiplication en examinant quelques exemples. Supposons d’abord que nous lancions un dé à six faces et que nous tirions à pile ou face. Ces deux événements sont indépendants. La probabilité de lancer un 1 est de 1/6. La probabilité de lancer une tête est de 1/2. La probabilité de lancer un 1 et d’obtenir une tête est de 1/6 x 1/2 = 1/12.
Si nous étions enclins à être sceptiques quant à ce résultat, cet exemple est suffisamment petit pour que tous les résultats puissent être énumérés : {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Nous voyons qu’il y a douze résultats, qui ont tous la même probabilité de se produire. Par conséquent, la probabilité de 1 et d’une tête est de 1/12. La règle de multiplication est beaucoup plus efficace car elle ne nous oblige pas à énumérer tout l’espace de l’échantillon.
Exemple n° 2 de l’utilisation de la règle de multiplication
Pour le deuxième exemple, supposons que nous tirons une carte d’un paquet standard, que nous remplaçons cette carte, que nous mélangeons le paquet et que nous tirons à nouveau. Nous demandons alors quelle est la probabilité que les deux cartes soient des rois. Comme nous avons tiré avec remplacement, ces événements sont indépendants et la règle de multiplication s’applique.
La probabilité de tirer un roi pour la première carte est de 1/13. La probabilité de tirer un roi lors du deuxième tirage est de 1/13. La raison en est que nous remplaçons le roi que nous avons tiré la première fois. Comme ces événements sont indépendants, nous utilisons la règle de multiplication pour voir que la probabilité de tirer deux rois est donnée par le produit suivant 1/13 x 1/13 = 1/169.
Si nous ne remplacions pas le roi, nous aurions une situation différente dans laquelle les événements ne seraient pas indépendants. La probabilité de tirer un roi sur la deuxième carte serait influencée par le résultat de la première carte.
