Valeur attendue de Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck est un jeu de hasard. Trois dés sont lancés, parfois dans un cadre métallique. En raison de ce cadre, ce jeu est également appelé cage à oiseaux. Ce jeu est plus souvent pratiqué dans les carnavals que dans les casinos. Cependant, en raison de l’utilisation de dés aléatoires, nous pouvons utiliser la probabilité pour analyser ce jeu. Plus précisément, nous pouvons calculer la valeur attendue de ce jeu.

Les paris

Il existe plusieurs types de paris sur lesquels il est possible de miser. Nous ne considérerons que le pari à un seul chiffre. Sur ce pari, nous choisissons simplement un nombre spécifique de un à six. Ensuite, nous lançons les dés. Examinez les possibilités. Tous les dés, deux d’entre eux, un seul ou aucun, peuvent indiquer le chiffre que nous avons choisi.

Supposons que ce jeu rapporte ce qui suit :

• 3 $ si les trois dés correspondent au nombre choisi.
• 2 $ si deux dés exactement correspondent au nombre choisi.
• 1 $ si exactement un des dés correspond au nombre choisi.

Si aucun des dés ne correspond au nombre choisi, nous devons alors payer 1 $.

Quelle est la valeur attendue de ce jeu ? En d’autres termes, à long terme, à combien s’élèverait en moyenne notre espérance de gagner ou de perdre si nous jouions à ce jeu de manière répétée ?

Probabilités

Afin de trouver la valeur attendue de ce jeu, nous devons déterminer quatre probabilités. Ces probabilités correspondent aux quatre résultats possibles. Nous constatons que chaque dé est indépendant des autres. En raison de cette indépendance, nous utilisons la règle de multiplication. Cela nous aidera à déterminer le nombre de résultats.

Nous supposons également que les dés sont justes. Chacun des six côtés de chacun des trois dés a une probabilité égale d’être lancé.

Il y a 6 x 6 x 6 = 216 résultats possibles en lançant ces trois dés. Ce nombre sera le dénominateur de toutes nos probabilités.

Il y a une façon de faire correspondre les trois dés avec le nombre choisi.

Il y a cinq façons pour qu’un seul dé ne corresponde pas au nombre que nous avons choisi. Cela signifie qu’il y a 5 x 5 x 5 = 125 possibilités pour qu’aucun de nos dés ne corresponde au nombre choisi.

Si nous considérons que deux des dés correspondent exactement, alors nous avons un dé qui ne correspond pas.

• Il y a 1 x 1 x 5 = 5 façons pour que les deux premiers dés correspondent à notre nombre et que le troisième soit différent.
• Il y a 1 x 5 x 1 = 5 façons de faire correspondre le premier et le troisième dés, le deuxième étant différent.
• Il y a 5 x 1 x 1 = 5 façons pour le premier dé d’être différent et pour le deuxième et le troisième de correspondre.

Cela signifie qu’il y a au total 15 façons de faire correspondre exactement deux dés.

Nous avons maintenant calculé le nombre de façons d’obtenir tous nos résultats sauf un. Il y a 216 rouleaux possibles. Nous avons comptabilisé 1 + 15 + 125 = 141 d’entre eux. Cela signifie qu’il en reste 216 -141 = 75.

Nous recueillons toutes les informations ci-dessus et nous les voyons :

• La probabilité que notre nombre corresponde aux trois dés est de 1/216.
• La probabilité que notre nombre corresponde exactement à deux dés est de 15/216.
• La probabilité que notre nombre corresponde exactement à un dé est de 75/216.
• La probabilité que notre nombre ne corresponde à aucun des dés est de 125/216.

Valeur escomptée

Nous sommes maintenant prêts à calculer la valeur attendue de cette situation. La formule de la valeur attendue nous oblige à multiplier la probabilité de chaque événement par le gain ou la perte nette si l’événement se produit. Nous additionnons ensuite tous ces produits.

Le calcul de la valeur attendue est le suivant :

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Cela représente environ -0,08 $. L’interprétation est que si nous jouions à ce jeu de manière répétée, nous perdrions en moyenne 8 cents à chaque fois que nous jouons.