Les distributions binomiales sont une classe importante de distributions de probabilités discrètes. Ces types de distributions sont une série de n essais de Bernoulli indépendants, dont chacun a une probabilité p constante de succès. Comme pour toute distribution de probabilités, nous aimerions connaître sa moyenne ou son centre. Pour cela, nous nous demandons en fait : « Quelle est la valeur attendue de la distribution binomiale ?
Intuition contre preuve
Si nous réfléchissons attentivement à une distribution binomiale, il n’est pas difficile de déterminer que la valeur attendue de ce type de distribution de probabilité est np. Voici quelques exemples rapides de ce type de distribution :
- Si nous lançons 100 pièces, et que X est le nombre de têtes, la valeur prévue de X est de 50 = (1/2)100.
- Si nous passons un test à choix multiples de 20 questions et que chaque question comporte quatre choix (dont un seul est correct), alors deviner au hasard signifierait que nous ne nous attendons qu’à obtenir (1/4)20 = 5 questions correctes.
Dans ces deux exemples, nous voyons que E[ X ] = n p. Deux cas suffisent à peine pour parvenir à une conclusion. Bien que l’intuition soit un bon outil pour nous guider, elle ne suffit pas pour former un argument mathématique et prouver que quelque chose est vrai. Comment prouver définitivement que la valeur attendue de cette distribution est bien np ?
À partir de la définition de la valeur attendue et de la fonction de masse de probabilité pour la distribution binomiale de n essais de probabilité de succès p, nous pouvons démontrer que notre intuition correspond aux fruits de la rigueur mathématique. Nous devons être quelque peu prudents dans notre travail et agiles dans nos manipulations du coefficient binomial qui est donné par la formule des combinaisons.
Nous commençons par utiliser la formule :
E[ X ] = Σ x=0n x C(n, x)px(1-p)n – x.
Puisque chaque terme de la sommation est multiplié par x, la valeur du terme correspondant à x = 0 sera 0, et nous pouvons donc effectivement écrire :
E[ X ] = Σ x = 1n x C(n , x) p x (1 – p) n – x .
En manipulant les factoriels impliqués dans l’expression pour C(n, x), nous pouvons réécrire
x C(n, x) = n C(n – 1, x – 1).
C’est vrai parce que :
x C(n, x) = x n!/(x !(n – x) !) = n!/((x – 1) !(n – x) !) = n(n – 1)!/((x – 1) !((n – 1) – (x – 1)) !) = n C(n – 1, x – 1).
Il s’ensuit que :
E[ X ] = Σ x = 1n n C(n – 1, x – 1) p x (1 – p) n – x .
Nous excluons le n et le un p de l’expression ci-dessus :
E[ X ] = np Σ x = 1n C(n – 1, x – 1) p x – 1 (1 – p) (n – 1) – (x – 1) .
Un changement des variables r = x – 1 nous donne :
E[ X ] = np Σ r = 0n – 1 C(n – 1, r) p r (1 – p) (n – 1) – r .
Par la formule binomiale, (x + y)k = Σ r = 0 kC( k, r)xr yk – r la somme ci-dessus peut être réécrite :
E[ X ] = (np) (p +(1 – p))n – 1 = np.
L’argument ci-dessus nous a fait faire un long chemin. En commençant seulement par la définition de la valeur attendue et de la fonction de masse de probabilité pour une distribution binomiale, nous avons prouvé ce que notre intuition nous disait. La valeur escomptée de la distribution binomiale B( n, p) est n p.
